球面翻转与尖点置换
球面翻转
2004年12月8日
第2页
Crosscap的尖点置换
这将是一个小小的插曲，以“球面翻转有什么用？”的方式展开。在这里，它被用来交换Crosscap的两个尖点，这在一开始看起来似乎是不可能的。我大约在十几年前发明了这个小技巧。它从未被发表过。但该发表在哪呢？没人知道。这并不是“数学中的一个主要成果”，但确实是一个相当吸引人的练习。在接下来的内容中，我们将使用多面体表示法。右边是“圆润”的Crosscap，左边是它的一种可能的多面体表示。
带有其一种多面体表示的Crosscap。
在右下方的图中，我们设法将两个位于其自相交线末端的尖点C1和C2安置在一个可以视为球体的一部分的地方。我们知道我们可以翻转一个球体。因此，我们可以对这个物体进行同样的处理，而不必关心这个变换的各个步骤。在多面体中，这将意味着翻转一个立方体。
我们所知道的是，操作结束后，将出现两种内陷，它们看起来就像一个位于初始Crosscap“内部”的观察者所看到的（这个说法是不准确的，因为这个表面是单侧的）。
翻转后，左边是立方体，右边是球体
多面体表示法确实非常方便，可以让我们清楚地跟踪这些操作。剩下的就是将两个手指插入这些内陷并将其向外拉：
将尖点C2“拉出”
如果觉得有趣，你可以用纸板制作这些多面体模型。或者，有人勇敢地用VRML制作这些模型，以便我们可以操作它们。
最后一步就是完成这个操作。
转换为与初始状态相同的浸入，但尖点已被交换。
我曾经承诺过，有一天会写一个关于我与精神分析学家雅克·拉康相遇的专题。Crosscap曾被他用来建模“基本幻想”。他专注于“中心尖点”，而忽略了第二个尖点。在这一中心区域，拉康将“语言之阳具”或“小对象a”定位在那里。我将在以后再讲述其余部分。无论如何，拉康并没有预料到这些尖点可以被“父-置换”。事实上，当他向我谈到这种语言学-几何学-精神分析的建模时，我皱起了眉头，想象在Crosscap中这两个尖点可能扮演不同的角色，而在接下来的瞬间，仅仅是因为提出了这个问题，我就找到了交换它们的方法。我记得拉康对此感到相当惊讶。他的基本幻想原本只有一个语言之阳具，现在却有两个。他整个理论都围绕着这个对象展开。但我立刻向他提出了一个替代方案，将语言之阳具置于博伊尔曲面（Boy's surface）的唯一极点上。这样，一切又恢复了秩序，让他非常满意。
这个事件发生在拉康去世前不久。据我所知，这种精神分析-几何的重新部署似乎尚未在拉康学派的精神分析家中传播开来。
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