球面翻转与尖点置换
球面翻转
2004年12月8日
第2页
Crosscap的尖点置换
这将是一个小小的插曲，以“球面翻转有什么用？”的方式。在这里，它被用来交换Crosscap的两个尖点，这在一开始似乎是不可能的。我大约在十多年前发明了这个小技巧。它从未被发表过。但该发表在哪里呢？没人知道。这并不是“数学中的一个主要成果”，但确实是一个相当吸引人的练习。在接下来的内容中，我们将使用多面体表示。右边是“圆形”的Crosscap，左边是它可能的多种多面体表示之一。
带有其多种多面体表示之一的Crosscap。
在右下方的图中，我们安排了两个尖点C1和C2，位于其自相交线的末端，可以认为是球体的一部分。我们知道我们可以翻转一个球体。因此，我们可以对这个物体进行同样的处理，而无需关心这个变换的各个步骤。在多面体中，这将意味着翻转立方体。
我们所知道的是，操作结束后，将出现两种不同的内陷，这就像一个位于初始Crosscap“内部”的观察者所看到的（这是一个不恰当的表达，因为这个表面是单侧的）。
翻转后，左边是立方体，右边是球体
多面体表示确实非常方便，可以不迷失于这些操作中。剩下的就是将两个手指插入这些内陷并将其拉出：
将尖点C2“拉出”
如果这能让你感到有趣，你可以用纸板制作这些多面体模型。或者，也许有人勇敢地用VRML制作这些模型，以便我们可以操作它们。
最后一步是完成这个操作。
转换为与初始相同的浸入状态，但尖点已经交换。
我曾经承诺过，有一天会做一个关于我与精神分析学家雅克·拉康相遇的专题。Crosscap被他用来建模“基本幻想”。他专注于“中心尖点”，而忽略了第二个。在这一中心区域，拉康将“语言之父”或“小对象a”定位。我会在以后再告诉你其余的故事。无论如何，拉康并没有预料到这些点可以被“父-变换”。事实上，当他对这种语言学-几何学-精神分析的建模进行描述时，我皱起了眉头，想象在Crosscap中两个尖点可能扮演不同的角色，而在接下来的瞬间，仅仅是因为我提出了这个问题，我就找到了交换它们的方法。我记得拉康对此感到相当惊讶。他的基本幻想从一个语言之父变成了两个。他整个理论都围绕着这个对象展开。但我立刻向他提出了一个替代方案，将语言之父定位在博伊表面（Boy surface）的唯一极点上。这样，一切都恢复了秩序，让他非常满意。
这个事件发生在拉康去世前不久。据我所知，这种精神分析-几何的重新部署似乎尚未在拉康精神分析学派的社区中传播开来。
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