球体的翻转
球体的翻转
2004年12月7日
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基本灾难。
我们之前已经提到过，我们所考虑的浸入方式是这样的：在它们的自相交集合上，当存在自相交时，沿其切平面保持分离。因此，可以通过四种基本灾难从一种浸入方式转换到另一种。莫林给它们起了名字，并在下面的图中显示。第一种灾难导致一条闭合曲线的产生（以及其逆操作，即消毁）。当你把你的手肘浸入水槽的水中以感受温度时，就会发生这种情况（见左图）。图a4：表面在一个点接触。在a5中，自相交曲线被创建。在接下来的文本中，我们将称这个操作为“肘部灾难”。
“肘部灾难”：闭合曲线的产生与消毁
第二种灾难是“橘子片”灾难：
“橘子片”灾难的产生与消毁。
如果你仔细观察这些图像，从左到右，你会看到一个抛物柱面接近一个二面角。自相交的集合由两条形状为抛物线的曲线组成，它们是分开的，显然还有二面角的棱。在中间的图中，二面角的棱与抛物柱面的一条母线接触。这个棱在该点与抛物柱面相切。自相交的集合由两条在一点相切的抛物线曲线以及二面角的棱组成。右边的图：抛物柱面继续移动。自相交曲线发生了变化。它由二面角的棱和两条在二面角棱上相交的抛物线曲线组成。反过来，也可以认为抛物柱面是静止的，而两个“切割平面”在移动。右边的图则可能看起来像两次斧头砍击，或者像用锯子进行的两次切割。木屑也被描绘出来了。莫林把它比作“橘子片”，这个比喻非常形象。
第三种灾难是“裤子”灾难。
“裤子”灾难
这些图像已经足够形象。从左到右，一条裤子被浸入水中。在左边，鸟从裤裆下穿过，但鱼被困在一条裤腿中。在右边，鱼穿过了，但鸟之前穿过的通道已经消失。在中间是中间状态。重要的是交线的局部变化，这对应于所谓的“手术”，即曲线弧连接方式的改变。尝试充分理解这个变换，它将是实现和观察球体翻转同伦过程中最困难的。记住，这种灾难同时关闭了一个通道，并在垂直方向开启了一个新的通道。
第四种也是最后一种灾难是“四面体的翻转”：
翻转四面体的灾难
自相交曲线由四条“直线”组成，这四条直线是四面体四条边的延长线。在左边的图中，我们分离了这个四面体，它向外显示灰色的面。在右边，情况相反：面是粉红色的。在中间，是中间状态：四面体被缩小到一个点Q（四重的，因为它是四层的交点）。
通过这四种灾难，我们将考虑通过一系列连续的横截浸入方式来翻转一个球体。这种变体是由数学家（盲人）伯纳德·莫林提出的。我们之间的相遇值得讲述。有一天，一位文学院的技术人员请我用我的绘画才能帮助一位要讲几何学的演讲者。我毫无戒心地去了那个约会。我一直都很擅长在空间中看到物体，当我们的高等数学教授给我们一个几何描述的问题时，我画出交线，并同时提供透视图，而他则提出问题。但这次情况不同了。
我毫不费力地画出了上面的图。但当需要将它们整合到一个涉及球体翻转的图中时，我完全失去了方向，面对着一系列层层叠叠的曲面。我非常生气，又回去看这个奇怪的人，尽管他失去了视力，却比我更熟悉这些形状的展开。我随后几个月跟随他学习。对话相当复杂。从他的角度来看，他只能依靠言语。从我的角度来看，我可以向他描述我的画，或者在我回家后或在现场制作的模型交给他。这些对话绝对超现实，比如：
- 尝试想象两条曲线会聚成一种类似打蛋器的形状。
尽管这个人的性格很固执，但这些会面对我来说是难以忘怀的。我最后只是习惯在每次工作前吃两片阿司匹林，作为预防措施。他的性格可以用他妻子给他的绰号来概括：“受祝福的闪电”，这是埃尔热漫画《丁丁在西藏》中的一个角色。莫林的怨恨也像传说一样不可逆转。他有时会提到一些已经去世的敌人，并说：
- 我有时会在死后给他们施加一点诅咒，心想如果这不能伤害他们，至少也不会对他们有好处。
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