数学灾难球面翻转

球面翻转

2004年12月8日

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伯纳德·莫林的版本

要下载B.莫林和J.P.皮特于1979年发表在《Pour la Science》上的文章的PDF版本，

球面翻转（2.8 MB）

我们从一个外侧为灰色、内侧为粉色的球体开始。在b和c中，我们让球的两极接触。然后，各层按照“肘部灾难”相互穿透。出现了一条闭合的自交曲线。在底部和右侧，三个半切口有助于更好地理解所获得的配置。此时，球体看起来像一个圆形的“充气小船”，带有“管状物”和“双层地板”。

第一步：一次“肘部灾难”。产生一条闭合的自交曲线

第二步：新的肘部灾难，产生第二条闭合的自交曲线。

第二次产生一条闭合的自交曲线。

为此，“充气小船”通过扭曲运动折叠，使得“管状物”的两个相对部分接触。下一张图是两次灾难导致“橘子片”形成的成果。

在产生两条“橘子片”之后

在左边，我们对模型进行了切割。在中间，我们展示了两个圆柱体，它们的局部截面影响了希腊字母“gamma”的形状，它们是如何相互穿透的。我们记得“橘子片”灾难是通过用两个形成二面角的平面切割“木段”而实现的。每个截面为“gamma”的圆柱形结构同时包含圆弧截面和二面角。仔细观察图i。在j中，我们画出了自交的整个结构。最大的闭合曲线部分来自第一次“肘部灾难”，它将球体变成了“充气小船”。在产生两条橘子片后，我们得到了一个更复杂的结构，j是其中的一部分。在j"中，可以看到这种结构可以与两个“橘子片”在四面体的两个不相邻的边上进行比较。

总有一天，当我能制作动画时，这一切会变得简单得多。从技术上讲，这对我来说没有问题。这只是时间的问题。很少有人不仅能“在空间中看到”，即能解读使用线条、虚线、颜色、阴影和反射的编码，还能在脑海中将这些变换串联起来，想象出所暗示的运动。我希望有一天能有时间完成所有这些事情。顺便提一下，我们可以使用多面体模型，就像我之前用来展示如何将Crosscap转化为Boy曲面那样。这才是未来。但这些模型需要我们自己去发明。在后面，你会看到由伯纳德·莫林设想的这个变换中心模型的优化多面体版本（请记住，他是个盲人！），以及如何自己动手通过裁剪来构建它。

为什么我没有进一步推进这些工作呢？我想是因为“没有出路”。没有数学期刊愿意发表这样的作品。我们曾在1975-78年间通过巴黎科学院的《Comptes Rendus》的一些注释发表过，但这些文章很可能没有被很多人阅读。但当时是由于科学院院士安德烈·利奇诺维茨对这些工作特别感兴趣。他现在已经去世了。由于这些工作早在1975年就已经完成，本应制作一部动画电影。我曾在动画领域工作过，完全有能力协调这样的项目。但无法在CNRS找到资金支持，最终是美国数学家内尔森·马克斯（Nelson Max）在参考了他同事查尔斯·普格（Charles Pugh）制作的模型（这些模型属于球面翻转的同一版本）后，利用强大的计算机，制作了第一部动画电影。但这不是第一次，也不是最后一次，法国人因努力未得到任何回应而被组织得更好、支持更有力的外国同事抢先一步。

现在进入第三阶段，这是最难理解的。

准备两次“裤子”灾难

在图k中，可以清楚地看到“裤子”两条腿的末端，细节见前图k'。白色箭头表示“裆部”通过。这种转变真的很难理解。我添加了图m以尝试更好地表达。在l中，我用虚线表示自交曲线，整个曲线在l'中显示。一个路径（由白色箭头所经过的路径）将关闭。这种关闭运动将导致曲线的一部分上升，在两个地方。这些曲线段将接触，每一条分别接触“橘子片”中的一条线。当接触发生时，手术将进行。困难在于，当你在前一页看到四个基本灾难后，你必须能够从所有角度理解它们，必要时甚至要扭动脖子。在n中，我们展示了手术进行的“关键时刻”（即变换的“中间状态”），此时曲线段的连接方式将被改变。我们知道这种“裤子”灾难“关闭一个通道并打开另一个通道”。初始通道由白色箭头表示。但还存在另一个通道，如果你将模型绕垂直轴旋转180度，从相同的角度可以看到它。这些箭头实际上只形成一个通道。在这些灾难发生之前，仍然可以在这个“折叠的充气小船”中移动。当这些灾难发生后，这个通道将不再可能。相反，两个新的通道将被创建。但在哪里，哪些空间部分被涉及？这些通道将使橘子片的内部与外部连通。在l'中，你可以看到这些橘子片。进入下一步。

通道关闭。进入双重临界状态

在o中，我们展示了两次“裤子”灾难在两个不同阶段的情况。其中一个通道完全关闭。我们处于临界状态，就在曲线弧的连接方式改变之前。在右边（图o的细节），通道正在关闭。因此，自交曲线o"在右边和左边的形状不同。在图p、p'和p"中，两侧都达到了临界状态（变换的“中间状态”）。在下一张图中，手术已经完成……