克莱因瓶的翻转
环面的翻转
2004年12月9日
第6页
环面的非平凡翻转 **
J.P.Petit： **
《法国科学院报告》
第293卷，1981年10月5日会议，第1系列，第269-272页
我将只展示接下来的图画，不再做任何解释。
环面的非平凡翻转。变换的第一部分
环面的非平凡翻转。变换的第二部分
当到达图v时，你会发现此时很容易将灰色结构和粉色结构对齐，从而将该物体变为克莱因瓶的双层覆盖。
此时通过交换各层来实现翻转。下面是同样的图画，但采用了颜色编码。
带有颜色编码的克莱因瓶双层覆盖
（这张图不属于我向CNRS提交的年度报告。你可以在《Topologicon》中找到它）
环面的不同种类。
斯蒂芬·斯梅尔在1957年证明了球面的浸入只有一种类型，所有这些浸入都可以通过同伦相互连接。它们形成一个群，其中的单位元素是保持物体不变。人们开始思考环面是否也会如此。数学家伊恩·詹姆斯和埃默里·托马斯证明了环面的浸入可以分为四个大陆，这四个大陆之间无法通过规则的同伦相互转换。
环面的四种类型
“标准环面”，画在纸张的中心，与图b中的物体属于同一类。这正是我在1980年发明的环面翻转版本中所展示的。所提到的图a代表了一个经历了360度扭曲的环面。它看起来像标准环面，但它们都是通过其地图系统定义的，使用了两组曲线。在标准环面上，我们使用两组圆，分别类似于经线和纬线。在图a的环面上，应该在贴上的圆环家族基础上，加上另一组反向扭曲的圆环。然后可以证明，通过规则的同伦无法将图a的环面网格与标准环面的网格（经线圆环加上纬线圆环）对齐。从这个意义上说，它们是不同的物体。当然，所有这些物体都可以配置成克莱因瓶的双层覆盖。
几何学家工具的力量在于能够预测哪些是可能的，哪些是不可能的。将标准环面变为图b中的环面：可以。从c到d：不可以。
这避免了浪费时间，也促使人们去寻找一些并非显而易见的事情，比如翻转一个球体。在所有科学领域都是如此。有时人们会错过一些富有成果的方法，可能持续数年甚至数个世纪，仅仅是因为他们认为这些方法不可能实现。我曾花费几年时间，通过拉普拉斯力场和“MHD”来构建一个理论，以消除物体在气体中以超音速移动时的激波。一位学生在我的指导下完成了关于这个主题的论文，我们也在各种有评审的期刊和科学会议上发表了这些研究成果。这个主题直到三十年后才开始出现。人们推测，美国人已经拥有能够以10马赫速度飞行而不产生激波（特别是不会承受与这些“爆炸”相关的巨大热应力）的高超音速飞机。这就是著名的“极光”（Aurora）飞机，它在产生极光的海拔高度飞行，大约在80到150公里之间。极光也是未来航天发射器的前身，这些发射器将利用空气，比法国国家航天研究中心（CNES）的火箭更加经济。在法国，无法启动这样的研究（我在1975年就有了这些想法），因为人们，尤其是CNRS的人，认为这些想法完全不切实际。我认为，这导致了我们比美国落后了三十年，而且这些差距是无法弥补的。
烟斗笑话
为了全面起见，必须提到以烟斗笑话为中心的球体翻转版本。这是我年轻时很常见的一种物体，但现在可能不太容易见到了。第一个绘制这些序列的是乔治·弗朗西斯。近年来，我一直在研究这些版本的多面体形式，已经产生了一个相当漂亮的中心模型。但要向你展示它，我需要重新找到它。我希望尽快找到，因为这是我创造过的最迷人的物体之一。
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