7）
由于负质量物质引起的引力透镜效应。
在经典广义相对论中，一个充满均匀密度物质并被真空包围的球体内部和周围的时空几何由两个连接的度规描述。第一个是“内部施瓦茨希尔德度规”：
在以下条件下：
第二个是“外部施瓦茨希尔德度规”：
经典引力透镜效应是通过第二个度规计算的，其中m是一个简单的积分常数，被选择为正数。那么一个质量粒子的平面轨迹由下式给出：
其中
φ是极角，u是相对于系统几何中心的径向距离r的倒数。光子遵循：
其中c是光速，h和l是轨迹参数。这给出了图10-a中的经典图示
其中中心质量被简化为一个点质量。现在，我们来看(16)和(18)。我们可以改变质量密度的符号
和R
s
变为 -R
s
。然后我们得到：
(16bis)
这些解可以连接起来，描述充满负质量的球体内部和外部的几何结构。第一个是解
场方程
第二个来自
S = 0。如1995年参考文献[3]中所介绍的，我们得到了负透镜效应。见图10-b
图10-a：正引力透镜效应
图10-b：负引力透镜效应
请注意，我们现在可以使用内部解，因为根据我们的假设，光子可以穿过负质量星系团（就像中微子穿过太阳一样。但我们没有使用中微子的望远镜）。现在我们来看看对观测的影响。第一种是由于由双物质星系团引起的负引力透镜效应导致的高红移星系亮度减少。事实上，我们发现了许多遥远的弱星系。经典的解释是说，矮星系首先形成，然后合并成更重的物体。负透镜提供了一个替代解释。现在，我们证明由于周围双物质引起的负透镜效应，可以解释在星系和星系团周围观察到的强透镜效应。首先，注意无论正密度还是负密度的均匀物质分布都不会引起引力透镜效应。只有非均匀分布才会。设想一个星系嵌入在某种类型的均匀双物质分布中的洞中。见图11-a。
图11：由被约束物体引起的正透镜效应和由周围双物质引起的负透镜效应的组合。整体效应的增强。
我们用图示说明了由于周围双物质引起的引力效应的增强，围绕着一个球形质量M（球形星系或球形星系团）。如第18节所示，一个在均匀负密度质量分布中球形空洞的引力场等同于一个充满正质量的均匀密度球体的引力场（见图11-b）。在图11-c中，我们图示了正质量M对引力透镜效应的贡献。主要效应（图11-c）来自于空洞，它聚焦光线。在图11-a中，我们找到了两种效应的组合。结论是，观察到的星系或星系团附近的强引力透镜效应并不能确定地证明存在不可见的正质量暗物质。存在另一种解释：物体可能被负质量包围，从而聚焦光线。
8）
奇异物质或奇异几何？
如上所述，物理学家很难接受负质量在我们宇宙中存在。此外，经典标准模型并未提供所有答案。例如，没有人知道反原始物质去了哪里，因此宇宙的一半缺失。这个问题变得如此尴尬，以至于科学家们现在只是选择回避。1967年，A. Sakharov提出，在所谓的“假大爆炸”中，一个“双子宇宙”被创造出来，其中时间箭头可能被反转（[33]、[34]、[35]和[36]）。一个相互作用仅通过引力的宇宙对的想法正在研究中，参见Nima-Arkani Ahmed（加州大学伯克利分校物理系）、Savas Domopoulos（斯坦福大学物理系）和Georgi Dvali（纽约大学物理系）的最近文章，参考文献[43]和参考文献[37]至[42]。
假设宇宙是M4流形的双叶覆盖。
图12：流形的双叶覆盖。
我们得到一个点对点的映射，连接两个“共轭点”M和
M，可以用同一个坐标系描述。
我们可以为这个非单连通的双叶覆盖赋予一个度量结构（类似于M4流形的双点纤维）。我们可以为一个流形赋予任意数量的不同度量。每个度量定义一个度量空间。
底层流形提供了一个点对点的映射，连接这些度量空间的所有点。我们得到两个耦合的度量空间F和
F。
在这里，我们取两个具有相同双曲签名的黎曼度量
(+ - - - )
。我们称这些度量为
g
和
g
。
从这两个度量中，我们可以构建测地线系统，但是，由于F和
F是断开的，这两类测地线也是断开的。结论是，如果这些度量给出零测地线，并且假设光在两个叶中沿它们传播，那么一个叶的任何结构在另一个叶中都是
几何不可见的
。
在经典广义相对论中，只考虑一个叶，与场方程（爱因斯坦方程）相关。
那么，非稳态解，对应于均匀和各向同性的条件，给出了弗里德曼模型。稳态解，尽管具有球对称性，给出了内部施瓦茨希尔德解（16），来自方程
其中
T是一个常张量场，位于半径为r
o
的球体内。
外部施瓦茨希尔德解（18）来自
S = 0
，同样具有球对称性。
选择一个场方程是一个先验选择。如果度量解是渐近平直和洛伦兹的，这保证了真空中的狭义相对论的有效性。如果在稳态条件下围绕一个洛伦兹度量展开级数，场方程可以被识别为泊松方程。
此外，牛顿近似提供了牛顿相互作用定律。对应于场方程解的弗里德曼模型提供了观测到的红移。局部地，太阳附近的光线偏转以及水星近日点进动也得到了观测。然而，最近弗里德曼模型与哈勃常数测量之间的某些不一致使得天文学家重新引入了一个非零的宇宙常数，对应于神秘的“真空排斥力”。
现在回到双叶结构。引入两个张量场
T和
T，假设它们描述F和
F叶的内容。从度量
g和
g，我们可以定义几何张量
S和
S。我们可以将四个张量
S，
S，
T，
T连接成一个由爱因斯坦方程启发的两个耦合场方程系统。
9）
暗物质现象的第一种几何解释。
考虑以下耦合场方程：
它们本质上是相同的，因此
g与
g相同：F叶的测地线图像变成
F叶的测地线。我们得到了两个“平行宇宙”，仅通过引力相互作用。暗物质可能由原子、中子、质子、光子组成，与我们的一样，只是我们无法从几何角度观察到双子物质。如果我们研究牛顿近似，我们得到以下泊松方程：
在这个模型中：
-
物质吸引物质
-
双子物质吸引双子物质
-
物质和双子物质相互吸引。
但这并不能解决所有观测数据：即使在我们宇宙的相邻部分，靠近Abell 1942星系团，存在某种几何不可见的暗物质，这并不能解释为什么这种吸引力不会捕获我们自己的星系和气体，位于我们宇宙的叶中。因此我们考虑以下方程组（参考文献[3]和[4]）：
10）
暗物质现象的第二种几何解释。
考虑以下耦合场方程组：
请注意，这并不一定意味着
g = -
g。牛顿近似支持第3节的假设。我们得到以下泊松方程：
我们更倾向于认为双子宇宙，双子叶，充满了内在正质量的物质，并且场方程中的负号使它在我们叶的观察者看来呈现出负质量的外观。因此我们可以称之为“表观质量”。系统（29）加（30）的对称性使得正能和负能的定义纯粹是任意的。经典局部的广义相对论控制如何？在这个新模型中：
- 物质吸引物质，
根据牛顿定律。
- 双子物质吸引双子物质，
根据牛顿定律。
- 物质和双子物质相互排斥，
根据“反牛顿定律”。
太阳系是宇宙中一个非常密集的区域。在双子叶的相邻部分，双子物质被排斥。因此，系统非常接近：
第一个方程等同于爱因斯坦方程，因此所有经典验证都适用。那么引力子呢？它们走什么路径？答案由两个论点组成：
-
场方程提供了宇宙的宏观描述，忽略了粒子的存在，只提供测地线系统。
-
此外：什么是引力子？
请注意，最近[49]发现，探测器Pioneer 10和Pioneer 11在远离太阳（40-60 AU）的长距离范围内存在异常的负加速度。观察到并描述为一种未建模的“粘性阻力”力，方向朝向太阳，Pioneer 10为（8.09 ± 0.20）× 10⁻⁸ cm/s²，Pioneer 11为（8.56 ± 0.15）× 10⁻⁸ cm/s²。同样，探测器Ulysses也发现了朝向太阳的未建模加速度，为（12 ± 3）× 10⁻⁸ cm/s²。参见该有趣文章的完整讨论。作者说：
“范式是显而易见的：是暗物质还是引力的修改？”正如他们指出的，如果用暗物质来解释这一现象，这将对应于总暗物质质量> 3 × 10⁻⁴太阳质量，这与行星历表的精度相冲突。一个三维中微子模型也没有解决这个问题[50]。其他人试图通过添加一个Yukawa力来修改牛顿定律[51]。但是，“这种异常加速度太大，不可能在行星轨道中被忽略，特别是对地球和火星而言”。因此，他们专注于Viking探测器的可用数据并得出结论：“一个大的误差会导致与整体行星历表的不一致……如果作用在旋转航天器上的异常径向加速度具有引力起源，它不是普遍的。这意味着它会比行星大小的物体更强烈地影响1000公斤的物体（……），这将是一种奇怪的等效原理的违反”。对这一神秘现象的另一种解释是，星系内部恒星之间存在一个弱排斥的双子物质分布，像螺旋结构一样形成一个弱势垒。需要研究。
11）
真空排斥力的问题。一种替代答案。
当我们查看方程（29）时，我们看到
T起着“宇宙常数”的作用。它代表了“双子宇宙的排斥力”，可能在非稳态耦合解中起作用。同质性和各向同性的假设使黎曼度量具有著名的罗伯逊-沃尔克形式，如下所示：
共轭点之间的径向距离（相同的u，相对于任意点的无量纲径向距离）并不自动相等：
r = R u .......................
r = R u
坐标的选择在每个叶中仍然是自由的，我们可以在其中定义不同的宇宙时间：
.
t
和
t R = c T R R = c T R
我们使用以下方式将场方程转化为无量纲形式：
然后，这些张量以无量纲形式书写：
最后，我们得到四个耦合的二阶微分方程（而不是经典方法中的两个）：
我们需要额外的假设。假设两个宇宙在它们的辐射时期有“平行生命”，即：
这导致负曲率指数（k = k = -1）。在
外部施瓦茨希尔德解（18）来自
S = 0
并且也有球对称性。
场方程的选择是一个先验决定。如果度量解是渐近平直和洛伦兹的，这保证了真空中的狭义相对论的有效性。如果在稳态条件下围绕一个洛伦兹度量展开级数，场方程可以被识别为泊松方程。
此外，牛顿近似提供了牛顿相互作用定律。对应于场方程解的弗里德曼模型提供了观测到的红移。局部地，太阳附近的光线偏转以及水星近日点进动也得到了观测。然而，最近弗里德曼模型与哈勃常数测量之间的某些不一致使得天文学家重新引入了一个非零的宇宙常数，对应于神秘的“真空排斥力”。
现在回到双叶结构。引入两个张量场
T和
T，假设它们描述F和
F叶的内容。从度量
g和
g，我们可以定义几何张量
S和
S。我们可以将四个张量
S、
S、
T和
T连接成一个由爱因斯坦方程（9）启发的两个耦合场方程系统。
暗物质现象的第一种几何解释。
考虑以下耦合场方程：
它们本质上是相同的，因此
g与
g相同：F叶的测地线图像变为
F叶的测地线。我们得到了两个“平行宇宙”，仅通过引力相互作用。暗物质可能由原子、中子、质子、光子组成，与我们的一样，只是我们无法从几何角度观察到“双子物质”。如果我们研究牛顿近似，我们会得到以下泊松方程：
在这个模型中：
- 物质吸引物质，
- 双子物质吸引双子物质，
- 物质和双子物质相互吸引。
然而，这并不能解决所有观测数据：即使在我们宇宙的相邻区域，靠近Abell 1942星系团，存在某种几何不可见的暗物质，这并不能解释为什么这种吸引力不会捕获我们自己的星系和气体，位于我们自己的宇宙叶中。因此我们考虑以下方程组（参考文献[3]和[4]）：
10）
暗物质现象的第二种几何解释。
考虑以下耦合场方程组：
请注意，这并不意味着
g = –
g。牛顿近似支持第3节的假设。我们得到了以下泊松方程：
我们更倾向于认为双子宇宙，双子叶，充满了内在正质量的物质，并且场方程中的负号使它在我们叶的观察者看来呈现出负质量的外观。因此我们可以称之为“表观质量”。系统（29）+（30）的对称性使正能和负能的定义纯粹是任意的。那么经典局部的广义相对论验证如何？在这个新模型中：
- 物质吸引物质，根据牛顿定律；
- 双子物质吸引双子物质，根据牛顿定律；
- 物质和双子物质相互排斥，根据“反牛顿定律”。
太阳系是宇宙中一个非常密集的区域。在双子叶的相邻区域，双子物质被排斥。因此，系统非常接近：
第一个方程等同于爱因斯坦方程，因此所有经典验证都适用。那么引力子呢？它们走什么路径？答案基于两个论点：
- 场方程提供了宇宙的宏观描述，忽略了粒子的存在，只提供测地线系统。
- 此外：什么是引力子？
请注意，最近[49]在Pioneer 10和Pioneer 11探测器上发现了长距离（40-60 AU）的异常负加速度。观察到并描述为一种未建模的“粘性阻力”力，方向朝向太阳，Pioneer 10为（8.09 ± 0.20）× 10⁻⁸ cm/s²，Pioneer 11为（8.56 ± 0.15）× 10⁻⁸ cm/s²。同样，Ulysses探测器也发现了朝向太阳的未建模加速度，为（12 ± 3）× 10⁻⁸ cm/s²。参见该有趣文章的完整讨论。作者说：
“范式是显而易见的：是暗物质还是引力的修改？”正如作者指出的，如果用暗物质来解释这一现象，这将对应于总暗物质质量> 3 × 10⁻⁴太阳质量，这与行星历表的精度相冲突。一个三维中微子模型也没有解决这个问题[50]。其他人试图通过添加Yukawa力来修改牛顿定律[51]。但是，“这种异常加速度太大，不可能在行星轨道中被忽略，特别是对地球和火星而言”。作者于是专注于Viking探测器的可用数据并得出结论：“一个大的误差会导致与整体行星历表的不一致……如果作用在旋转航天器上的异常径向加速度具有引力起源，它不是普遍的。换句话说，它必须比行星大小的物体更强烈地影响1000公斤的物体（……），这将是一种奇怪的等效原理的违反”。对这一神秘现象的另一种解释是，星系内部恒星之间存在一个弱排斥的双子物质分布，像螺旋结构一样形成一个弱势垒。需要研究。
11）
真空排斥力的问题。一种替代答案。
查看方程（29），我们看到
T起着“宇宙常数”的作用。它代表了“双子宇宙的排斥力”，这可能在非稳态耦合解中起作用。同质性和各向同性的假设使黎曼度量具有著名的罗伯逊-沃尔克形式，如下所示：
共轭点之间的径向距离（相同的u，相对于任意点的无量纲径向距离）并不自动相等：
r = R u
.......................
r = R u
坐标的选择在每个叶中仍然是自由的，我们可以在其中定义不同的宇宙时间：
t 和 t
和
t R = c T R R = c T R
我们用以下方式将场方程转化为无量纲形式：
然后，这些张量以无量纲形式书写：
最后，我们得到了四个耦合的二阶微分方程（而不是经典方法中的两个）：
我们需要引入额外的假设。假设两个宇宙在它们的辐射时期有“平行生命”，即：
这导致负曲率指数（k = k' = -1）。在解耦后，我们忽略压力项（尘埃宇宙）：
从中我们立即得到：
通过在两个叶中引入质量守恒：
系统变为：
请注意，R = R' 会导致 R'' = R'' = 0。
另一方面，如果两个宇宙是“完全耦合的”，即 R/R' = 常数，这种特殊情况对应于弗里德曼模型，具有“平行演化”。但我们认为它们通过引力场耦合，通过（54-a）和（54-b），这表明线性膨胀是不稳定的。例如，如果 R > R'，那么 R'' > 0 且 R'' < 0。
该系统可以数值求解。典型解对应于图13。数值选择是为了满足VLS数值模拟的初始条件。辐射时期的演化定律将在第15节中得到解释。
图13：宇宙和双子宇宙尺度参数的演化。
我们看到，通过引力相互作用的两个宇宙系统是不稳定的。如果一个宇宙被其双子宇宙推动而加速，另一个则会减速。因此，我们宇宙的加速现象是由其双子宇宙的“排斥力”引起的。两个宇宙的历史不同。我们的宇宙更冷、更稀薄。双子宇宙更热、更密集。这解释了第2节的假设，即VLS。
我们的双子宇宙可能如何演化？如我们所见，它充满了巨大的双子物质团，类似于巨大的原恒星，其冷却时间明显长于宇宙的年龄。双子宇宙中不会发生核聚变。我们认为，在第一次核合成之后，它仍然充满了氢和氦。双子宇宙中不会存在生命现象。
12）
牛顿定律和泊松方程。
在经典广义相对论中，牛顿定律和泊松方程可以从爱因斯坦场方程中推导出来，考虑一个几乎稳态和几乎洛伦兹的度量解。在这里，我们有两个扰动度量，以无量纲坐标h（时间）和zᵃ（空间）表示。通过展开两个场方程，并考虑一个几乎均匀的宇宙，我们得到：
引入一个无量纲的引力势：
定义一个无量纲的拉普拉斯算子：
我们因此得到一个无量纲的泊松方程：
经典识别方法导致牛顿定律。在叶F中：
在叶F'中：
引力势对测试粒子（m = +1）的作用方式取决于它所属的叶。一般来说，位于叶F中的粒子（m = +1）以如下方式对引力势（无量纲）做出贡献。
正如我们所能看到的，耦合场方程系统完全决定了系统的动力学，对应于文章开头作为假设引入的牛顿近似。在这个模型中，光速c和c'可能不同（我们认为它们是不同的）。使用第11节中引入的量，我们可以回到有量纲的定律，如下所示：
在两个叶中表达的牛顿定律变为：
泊松方程可以在两个叶中任意表达。
13）
标量曲率。
系统（29）+（30）的几何意义是什么？标量曲率 R 和 R' 是相反的。我们可以为这个新的几何框架提供一个教学图像。首先，我们回想一下，该结构对应于一个流形的二重覆盖。我们得到两个不同的页，具有耦合的度规 g 和 g'。它们不是独立的，因为它们是场方程组的解。它们各自生成自己的测地线系统，而在页 F 中的测地线在页 F' 中的图像并不是该页的测地线。光在两个页中沿零测地线传播，但没有任何零测地线连接这两个页，因此一个页的结构对于位于另一个页中的观察者来说在几何上是不可见的。现在假设在页 F 中存在一个质量，而页 F' 的相邻区域是空的。对应的场方程组将是：
假设这种质量分布对应于一个半径为 r₀ 的球体，该球体充满常密度物质，并被真空包围。那么，在静止的页 F 中的几何结构对应于两个连接的施瓦茨希尔德解（内部和外部）。它们是方程（68）的解。在页 F 中，我们得到一种共轭几何结构，其标量曲率相反 R' = –R。在球体外部（以及在页 F' 中对应的外部空间），R = R' = 0。在内部，标量曲率是常数。教学模型对应于一个“钝角锥”和一个“负角锥”，如图15所示。在“钝角锥”中，中心部分是一段球体。
图14：页 F 中存在质量。在页 F' 中诱导出负曲率。在“负角锥”中，相关区域在此二维教学图像中对应于一个马鞍形区域。下方是一个平面图，显示了位于页 F 中的观察者如何理解这一现象。他可以同时观察到质量 M（灰色圆盘）和一个质量在其自身页中移动的轨迹，“被该质量吸引”；在这一欧几里得表示中，该轨迹对应于“钝角锥”的测地线的投影。观察者无法看到“双生物质”粒子在双生页 F' 中移动的轨迹，并被该质量排斥。
现在，假设质量位于双生页 F' 中的双生空间中。情况是相反的。见图15。根据这一二维教学图像，页 F 形成一个钝角锥，而页 F' 则类似于一个钝角锥。F 的几何结构，靠近系统几何中心，类似于位于“细胞”中心的双生物质团块附近的区域。在我们页中传播的光可以穿过它，但会被散射。如第3节和图7中提到的，这意味着双生物质团块的直径不能超过某个值，以符合现有的观测结果。下方：两种平面图显示了欧几里得投影（观察者可能如何理解这一现象，根据他位于何处）
太阳系是宇宙中一个非常密集的部分。在相邻的双折叠部分，双物质被推开。然后系统非常接近：
第一个方程对应于爱因斯坦方程，因此所有的经典验证都符合。那么引力子呢？它们走哪条路径？答案由两个论点组成：
-
场方程提供了宇宙的宏观描述，它忽略了粒子的存在，只给出了测地线系统。
-
顺便说一下：什么是引力子？
请注意，最近[49]，在远离太阳（40-60 AU）的太空探测器先驱者10号和先驱者11号上，发现了异常的长距离（负）加速度。一种未建模的加速度，指向太阳，（8.09±0.20）×10-8 cm/s2 对于先驱者10号，（8.56±0.15）×10-8 cm/s2 对于先驱者11号，被描述为一种“未理解的粘性阻力”。同样，对于探测器尤利西斯号也发现了指向太阳的未建模加速度，为（12±3）×10-8 cm/s2。有关完整讨论，请参阅这篇有趣的论文。作者说：“范式很明显：是暗物质还是引力的修改”。如所指出的，如果为了解释而需要暗物质，那么它将对应于总暗物质质量大于3×10-4个太阳质量，这将与历表的精度相冲突。一个三维中微子模型也没有解决这个问题[50]。其他人尝试修改牛顿定律，添加一个杨-米尔斯力[51]。但“这种异常加速度太大，不可能在行星轨道中未被检测到，特别是对于地球和火星”。然后他们专注于现有的维京探测器数据并得出结论：“但如果异常的径向加速度作用于旋转的航天器，它是引力起源的，那它就不是普遍的。也就是说，它必须比行星大小的物体更强烈地影响1000公斤范围内的物体，至少100倍（…），这将是等效原理的一种奇怪的违反”。对这一仍然令人困惑的现象的另一种解释是，星系内部恒星之间的弱排斥双物质分布的作用，这会形成一个弱势垒，就像螺旋结构一样。需要进一步研究。
11）
真空的排斥力问题。另一种答案。
当我们看方程（29）时，我们发现T像一个“宇宙常数”。它表示“双宇宙的排斥力”，这在非稳态耦合解中可能起作用。假设均匀性和各向同性，给出黎曼度规的著名罗伯逊-沃尔克形式，如下：
共轭点之间的径向距离（相同u，非维度“径向距离”，相对于任意点）并不自动相等：
r = R u
.......................
r = R u
坐标的选择在每个折叠中仍然是自由的，我们可以定义不同的宇宙时间：
.
t
和
t R = c T R R = c T R
我们将场方程转化为无量纲形式，使用：
接下来，这些张量以无量纲形式写出：
最后，我们得到四个二阶耦合微分方程（而不是经典方法中的两个）：
我们需要一些额外的假设。假设两个宇宙在它们的辐射时期有“平行的生活”，即：
这会施加负曲率指数（k = k = -1）。在解耦之后，我们忽略压力项（尘埃宇宙）：
从中我们立即得到：
引入两个折叠中的质量守恒：
系统变为：
请注意，R = R 会得到 R" = R" = 0。
另一方面，如果两个宇宙是“完全耦合的”，即 R / R = 常数，这种特殊解将对应于弗里德曼模型，具有“平行演化”。但我们认为它们通过（54-a）和（54-b）通过引力场耦合，这表明线性膨胀是不稳定的。如果，例如，R > R，则 R" > 0 且 R" < 0。
该系统可以数值求解。典型的解对应于图13。数值选择是为了符合VLS数值模拟的初始条件。辐射时期的演化规律将在第15节中得到解释。
图13：宇宙和孪生宇宙的尺度参数的演化。
我们看到，通过引力相互作用的两个宇宙系统是不稳定的。如果一个宇宙被它的孪生宇宙推动得更快，另一个宇宙就会变慢。因此，我们宇宙的观测到的加速是由它的“孪生宇宙的排斥力”引起的。这两个宇宙的历史不同。我们的宇宙更冷、更稀薄。孪生宇宙更温暖、更密集。这证明了第2节的假设，该假设决定了VLS。
我们的孪生宇宙会如何演化呢？如我们所见，它充满了巨大的双物质团块，看起来像巨大的原恒星，其冷却时间远大于宇宙的年龄。双宇宙中不会发生融合。我们认为在第一次核合成之后，它仍然充满了氢和氦。双宇宙中不会存在生命现象。
12）
牛顿定律和泊松方程。
在经典广义相对论中，牛顿定律和泊松方程可以从爱因斯坦场方程推导出来，考虑一个几乎稳态和几乎洛伦兹度规解。在这里，我们有两个扰动度规，写在无量纲坐标中 h（时间），z a（空间）。
将两个场方程展开成级数，并考虑一个几乎均匀的宇宙，我们得到：
引入一个无量纲的引力势：
定义一个无量纲的拉普拉斯算子：
我们得到一个无量纲的泊松方程：
经典的识别方法给出牛顿定律。在折叠F中：
在折叠F中：
引力势对(m = +1)测试粒子的作用不同。取决于它所属的折叠。一般来说，位于折叠F中的(m = +1)粒子对（无量纲）引力势的贡献如下。
正如我们所见，耦合场方程系统完全决定了系统的动力学，对应于牛顿近似，如论文开头所假设的。在模型中，光速c和c可能不同（我们认为它们是不同的）。使用第11节中引入的量纲量，我们可以返回到有量纲的定律，如下所示：
在两个折叠中表达的牛顿定律变为：
泊松方程可以无差别地在两个折叠中表达。
13）
标量曲率。
系统（29）加上（30）的几何意义是什么？标量曲率R和R是相反的。我们可以给出这个新几何框架的教育性图像。首先，记住结构对应于流形的双折叠覆盖。我们得到两个不同的折叠，具有耦合的度规g和g。它们不是独立的，因为它们是场方程系统的解。它们产生自己的测地线系统，折叠F中的一条测地线在折叠F中的图像不是该孪生折叠F的测地线。光在两个折叠中都沿着零测地线传播，但没有零测地线连接两者，因此一个折叠的结构对位于另一个折叠中的观察者来说是几何上不可见的。假设现在质量存在于折叠F中，而相邻的折叠F部分是空的。对应的场方程系统将是：
假设这个质量分布对应于一个半径为r o的球体，填充有恒定密度的物质，并被空隙包围。那么在折叠F中，假设稳态的几何结构对应于两个连接的施瓦茨希尔德解（内部和外部）。它们是方程（68）的解。在折叠F中，我们得到一个共轭几何，具有相反的标量曲率R = -R。在球体外部（以及折叠F中相应的相邻空间外部），R = R = 0。在内部，标量曲率是恒定的。教育模型对应于一个钝的“正圆锥”，与一个“钝的负圆锥”相关，如图15所示。在钝的“正圆锥”中，中心部分是球体的一部分。
图14：质量存在于折叠F中。在折叠F中诱导的负曲率。
在“钝的负圆锥”中，相应的区域在此二维教育图像中对应于马鞍形。下方，一个平面表示位于折叠F中的观察者如何理解这一现象。他可以观察到质量M（灰色圆盘）以及在自己的折叠中巡航的质量的路径，“被该质量吸引”，这条路径在此欧几里得表示中对应于“钝的正圆锥”的测地线的投影。观察者无法看到在孪生折叠F中巡航的“双物质”粒子的路径，并被该质量排斥。
现在，假设质量位于孪生空间的折叠F中。情况是相反的。见图15。根据这个二维教育图像，折叠F呈钝的负圆锥形状，而折叠F看起来像一个钝的正圆锥。F的几何结构靠近系统几何中心，类似于VLS中“细胞”中心处的双物质团块。光在我们的折叠中可以穿过它，但会散射。如第3节和图7中提到的，这意味着团块的直径不能大于某个值，以符合现有的观测结果。下方：两个平面表示，显示欧几里得投影（当观察者位于折叠F或折叠F中时，如何理解这一现象）。
图15：在折叠F中存在“双物质”质量，而折叠F是空的。
它在F中产生负（诱导）曲率。
论文摘要
