这是一个我某天下雨时发明的单面体。如果你仔细观察，这是一个只有一个面和一个边的多面体。如果你在该唯一面上取一个法向量，并让它旋转一周，它会重新出现，但已经旋转了90度。只有在第四周之后，它才会恢复原来的位置。
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我之前是凭空想象画出上面的图。但现在已经有程序可以处理这种物体。那些已经下载（免费）Cosmo Player或者愿意下载的人可以欣赏我朋友Christophe Tardy在这个单面体上的作品。在那之前，我重新用绘图编码处理了该物体的唯一边，就像他从一张图片中提取出来的那样。据我所知，目前还没有软件能用点画来表示隐藏部分并中断线条。但也可以使用更淡的云状图案。
无论如何，我们在这里有一个唯一的边，没有任何顶点。
这是否是一种数学奇观？也许。如果您曾看过我的科学作品或其通俗介绍，您可能知道我正在发展一个“双面”宇宙模型，最初的想法来自André Sakharov（1967年）。顺便提一下，这两个“宇宙的两面”有相反的时空坐标。关于时间或“时间”的问题仍然棘手。没有什么比这个词更难以捉摸的了。什么是“时间之箭”？能否说“两个反平行的时间之箭”？（这是Sakharov最初的设想）。
在我1994年发表于《Nuovo Cimento》的论文中，我考虑了这一想法，这一想法最初由Linde在1988年提出，即这些“双胞胎”区域实际上可能是“对极区域”。因此，这两个双胞胎宇宙（与Linde不同，我设想的两个宇宙通过引力场相互作用，而他的则完全互不干扰）。因此，它们是“既两个又一个”。一个数学家会说，这种结构是双叶覆盖（球面S2是Boy曲面的双叶覆盖）。在《Nuovo Cimento》中，我设想了双叶覆盖的投影P3（相当于三维Boy曲面），将超球面S3的对极区域重合。但我一直认为，实际上可能是双叶覆盖的投影P4，将超球面S4的对极区域重合。在这种情况下，这个既是单一又是双重的宇宙中“相邻”区域的相互作用会将超球面S4上的对极区域重合，这些区域不仅互为镜像（P对称），而且T对称，即“具有相反的时间之箭”。这里又回到了Andréi Sakharov的想法。
单面体是四叶宇宙（“cosmoèdre”）的一个（教学）图像。一个“既是四个又是一个”的宇宙。四个“相邻”的区域将相互作用。但这些区域会是什么？在这样的图中，我们应在何处“读取”它们？单面体的正截面（只是一个教学图像）是一个正方形（因为它由这个正方形旋转生成，参见C.Tardy创建的虚拟现实图像）。这个正方形截面的四个边代表宇宙的四个区域，它们将相互关联。因此，至少在局部上，我们可以谈论“四叶覆盖”。如果我们将单面体表面的法线视为时间之箭，那么时间之箭会随着这个生成正方形一起旋转。因此，这四个宇宙部分将具有“十字形”的时间之箭，两两反平行：
也可以这样描述：存在两对双胞胎宇宙，它们的时间之箭两两反平行。这在某种程度上是：
（Sakharov）
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为何要如此复杂？这是否是一种新的几何游戏？嗯...
让我告诉您我在想什么。当我构建了双宇宙模型时，我证明了第二个宇宙可以容纳与我们完全相似的物质，包括它的双胞胎质子、双胞胎电子、双胞胎光子等（无论使用Sakharov提出的“双胞胎”一词，还是在超弦世界中更流行的“幽灵”一词）。我还证明了反转时间实际上等同于反转质量，因此也等同于反转能量。
Linde是Sakharov的学生。我曾在1983年在莫斯科国家酒店的房间里与他长时间讨论，他来与我会面。1988年，他提出了一个双宇宙，其中两种物质具有相反的能量。然后，意识到在同一个时空区域中共存这两种物质可能会带来问题，他将“另一种物质”（具有负能量）放到了对极。但这样做时，他没有意识到他重新发现了他导师Sakharov的想法（Sakharov主张相反的时间），因为（J.M.Souriau 1972）反转时间或反转质量和能量实际上是一回事。
如果您有勇气或能力阅读《Geometrical Physics B》的论文，您会看到双胞胎宇宙中也存在物质的对偶性。不仅存在双胞胎物质，而且在第二个宇宙中还存在双胞胎反物质。
这一切可以扩展到四叶的上下文中。这样，我们将得到一种“虚物质”和一种“虚双胞胎物质”（相对于我们，具有纯虚时间之箭，彼此反平行）。
问题：这种虚物质如何与我们的物质相互作用？我承认目前我还没有任何想法，但我会找到办法的。几何学是一个充满各种技巧的丰富世界。
让我们暂时停下来思考这个想法。相对于我们，这个虚世界是什么？从词源上讲，它是一个“元世界”。
理论物理学家和宇宙学家的装备，其实也就是一个优秀几何学家的装备，可以设想（正如Linde在1988年注意到的）“平行世界”，其中的粒子可能与我们的一样，或者因为它们是我们的镜像（P对称性），或者因为它们是负能量的双胞胎（T对称性），或者两者兼而有之。在这种情况下，为何不干脆设想粒子的参数是纯虚数（质量、电荷、时间之箭等）？这将引出一个“元世界”的概念，它也可能由粒子组成，遵循一种纯粹的虚物理，可能与我们很接近，我们可以称之为“元物理”。
我不记得是哪位哲学家写过“形而上学是一片大海，要穿越它……”