1994年发表于《Nuovo Cimento》期刊文章的前言
本研究的起点可追溯至1977年。当时在巴黎科学院《报告》（Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris）上发表了两篇论文：
J.P. Petit：“时间箭头相反的对映宇宙”，1977年5月8日，第285卷，第1217–1221页
J.P. Petit：“与时间镜像中宇宙相互作用的宇宙”，1977年6月6日，第284卷，A系列，第1413–1416页
在接下来的论文中，我们尝试通过一种“对极性”关系，逐点建立（对合映射）地球附近区域（从宇宙尺度看）与另一个宇宙对应点之间的联系（我们称其为“孪生宇宙”：twin universe，或“影子宇宙”：shadow universe，或“幽灵宇宙”：ghost universe，这些名称在我们看来是等价的）。这一方法依赖于对几何对象拓扑结构的初始假设。然而，后来我们意识到，其实无需如此，因为可以将局部结构（F, F*）定义为一种“骨架流形”的二重覆盖。此时，结构即为三维射影空间P³的二重覆盖，等价于二维射影空间P²的三维类比。后者更为人熟知，其最著名的表示形式是1902年由奥地利数学家威纳·博伊（Werner Boy）发现的曲面，见图184（原则上为动画，待网站完善后可实现）。
博伊是著名数学家希尔伯特（Hilberth）的学生，后者对其学生的发明表示非常满意。有趣的是，发明之后，博伊便离开了大学，从此杳无音讯。历史学家们曾多次尝试寻找他的踪迹，但均未果。人们至今不知他究竟是死于一场重感冒，还是最终成为了一名水管工。
几何学家们知道，可以将球面S²的所有点通过射影平面P²实现一一对应，如本文附图10所示。北极点与南极点重合，赤道则沿着博伊曲面的伪赤道自我缠绕。这种二重覆盖在本文图11中有所展示。至少在二维情况下，这种操作将互为镜像的对映物体重合。图12和图13为教学图像，展示了物质团块如何填补对极区域的空缺。
这种二重覆盖系统可推广至三维乃至四维，对应于三维球面S³和四维球面S⁴，分别覆盖三维射影空间P³和四维射影空间P⁴。
在深入探讨之前，我们不妨让读者先熟悉一下这种奇特的博伊曲面的几何特性。此外，读者也可在《拓扑奇境》（Topologicon，Belin出版社，1984年版）中找到该对象的多种变体。
读者可能感到惊讶的是，该曲面自身存在自相交，其自交集是一条三叶草状的曲线，形似船螺旋桨：
在左侧的图示中，我们特意开了一道口子，以展示三叶交点——三条曲面在此交汇。此曲面显得极为特殊。事实上，它正是一个极佳的例子，可用来说明前文提到的“三维表示空间”概念。
三叶交点T与自交曲线仅由P²在R³中的表示方式所决定。球面、环面等均可“嵌入”R³，即存在拓扑等价的表示，其表面不会自相交。但射影平面P²无法“嵌入”R³，只能“浸入”R³。因此，上述图示（博伊曲面）是P²在R³中的“浸入”表示。二维对象的“浸入”是指在R³中的一种表示方式，其特征为存在一条“双点线”（即自交曲线），沿此线有两个切平面，以及若干三叶交点，即三条曲面在此交汇。博伊曲面只是P²在R³中无限多种浸入方式之一。其他形式将在即将上线的文章《射影平面的不同面貌》中展示。
通过我们自行发明并发表的参数化表示，获取博伊曲面的图像相当容易。
——读者可在“数学”子网站中找到1981年发表于巴黎科学院《报告》的论文复本，作者为J. Souriau（非著名数学家本人，而是其子杰罗姆·苏里欧，后成为计算机专家），参考文献如下：
“博伊曲面的解析表示”，巴黎科学院《报告》，第293卷（1981年10月5日），第1系列，第269–272页
文中指出，该曲面具有椭圆子午线。这一性质使其易于绘制。以下为我漫画《拓扑奇境》首页所附的BASIC程序代码：
BASIC程序
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN(6*MU - P3)
110 E = 6.732 * SIN(3*MU - P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN(P8 * SIN(3*MU))
140 C2 = SQR(A * A + B * B) : C3 = (4 * D * E) / C2
160 CM = COS(MU) : SM = SIN(MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS(TE) : TS = B * SIN(TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM 以下是三个坐标
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM 显示点的指令
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
作为补充说明，正是由于我们发现了利用椭圆子午线表示该曲面的可能性，后来数学家阿佩里（Apéry）才得以首次获得其六次隐式表示：
f(x, y, z) = 0
我们在此不再重复该式（其本身相当复杂），但我们坚信应存在更简单的形式，相关内容将另作文档，收录于“数学”子网站中。
相比之下，克莱因瓶更为读者所熟知。同样，它也无法嵌入R³，其最经典形式为一种浸入，其自交集为一条简单闭合曲线。
博伊曲面（P²）与克莱因瓶的二重覆盖均为球面S²与环面T²。对博伊曲面感兴趣的读者，可在巴黎“发现宫”（Palais de la Découverte）的某间展厅中找到其三维模型，该模型由艺术家马克斯·索兹（Max Sauze）根据我们制作的较粗糙原型制作而成。
在这些二重覆盖操作中，物体的子午线与纬线会“自身缠绕”。例如，我们可以展示环面的“纬线”（与嵌入方式相关）会发生什么变化：
在此环面嵌入中，纬线显然并非曲面的测地线（仅“瓶颈圆”例外）。环面的子午线情况亦类似，它们是测地线……