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缺失质量问题
让-皮埃尔·皮埃特
马赛天文台，法国
（《新物理学杂志B》第109卷，1994年7月，第697-710页）
摘要
提出了一种新的场方程，与S3 × R1的拓扑结构相关。我们引入了一个微分对合映射A，将空间中的任意一点s与对径区域A(s)联系起来。根据这个方程，流形的几何结构既取决于能量-动量张量T，也取决于对径张量A(T)。在考虑时间不变度规、弱场和低速的情况下，我们推导出相应的泊松方程，该方程提供了相互作用的团状结构和晕状对径结构。第二种结构有助于第一种结构的约束。我们认为，这个模型可能解释缺失质量效应和宇宙的大尺度结构。
1）引言
通过一组非相对论方程研究星系的平衡，例如与泊松方程耦合的Vlasov方程，该方程来源于广义爱因斯坦场方程
(1)
S = c T
再加上一个稳态假设，即考虑弱场和低速。众所周知，我们星系中可见质量产生的引力场无法平衡离心力和压力。一些人认为某种不可见质量，即暗物质，可能对场有贡献并平衡离心力。接下来，我们将提出一个基于新场方程的模型。
2）一个新的场方程
我们假设宇宙具有S3 × R1的拓扑结构。
高斯坐标为
(2)
x = (x°, s)
其中x°是一个时间标记，向量s表示空间标记。时空是有方向的。可以定义一个微分对合映射，将给定的点s与对径点s*联系起来。
(3)
s* = A(s)
考虑定义在流形上的两个张量场S和T。假设它们通过以下场方程相关联
(4)
S = c (T - A(T))
其中
(5)
A(T) = T* = T(x°, s*)
我们假设光沿着时空的测地线传播。
g是度规张量。
R是里奇张量，因此
(6)
g* = g(x°, s*)
R* = R(x°, s*)
我们可以将场方程写成更明确的形式
(7)
我们将张量T和T*写成如下形式
(8)
(9)
其中
r* = r(x°, s*)
p* = p(x°, s*)
如果我们施加零散度条件，流体将遵循以下守恒方程
(10)
3）无时间依赖的条件，弱场和低速。泊松方程。
我们可以应用经典方法，采用准洛伦兹度规
(11)
g = h + ε g
其中h是洛伦兹度规，ε是一个小参数。
在三维符号中
(12)
牛顿定律适用于整个空间。此外，引力势定义如下：
(13)
反过来，给定引力势Y，如果度规张量的goo项具有以下形式
(14)
我们得到
(15)
通过比较，我们得到以下泊松方程
(16)
ΔY = 4πG (ρ - ρ*)
如果我们考虑一个球对称系统
(17)
其中
(18)
ρ* = ρ(s*)
根据(17)
(19)
Y* = -Y