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顺便提一下，给儿童提供的系统并非没有缺陷。只有当提供的物体是游戏本身附带的物体时，这个系统才能正常运作。请注意，“圆柱体”部分可以放入相同半径但不同长度的圆柱体，以及回形针、奶嘴、衣柜钥匙等。
逻辑上，儿童通过这种群体学习，可以推断出衣柜钥匙和圆柱体是同一类物体。这是真的，因为这些物体具有共同的属性：“能从那个孔中插入”。
我女儿小时候曾进行过非常有趣的实验，她使用电脑的读卡器入口作为输入窗口和筛选器。在完全拆卸并停用后，才重新理解她的思路，这其实是很合理的。如今，她仍然对群体很感兴趣。但这些群体已经不同了，这些选择我不太喜欢。
回到我们之前提到的那个孩子。几个月后，你将引导他认识伽利略群，通过扔给他一些物体并鼓励他去抓。这时物体的形状不再重要，重要的是它们的运动。我们换了一个群。对于婴儿来说，一个足够小的物体可以被他抓住，就等同于它的质心。它是一个“质点”或“质点物质”。伽利略群处理的是“质点的运动”。
此时的分类是根据运动的类型进行的。
-
这个我可以抓住。
-
这个我不能抓住。
婴儿凭直觉评估初始条件，位置和速度矢量，必须识别所面对的运动类型，并进行预测。
长大后，他可能会打网球，一直使用伽利略群，就像欧几里得群一样，是一个方阵。由于网球的速度明显低于光速，他不需要使用庞加莱群（另一个方阵，处理质点的相对论运动）。
这样，由伽利略群管理的质点不再属于欧几里得群的点，它们具有不同的属性。
数学物理专家使用伽利略群时，不再谈论质点，而是谈论运动。他要分类的是运动。这时会遇到基本粒子物理的一个本质方面：试图为其建立现象学描述：
告诉我你的运动方式，我就告诉你你是谁。
不再关注“一个粒子由什么组成”，而是关注它如何表现。因此，中性粒子和带电粒子的行为不同。它们属于不同的种类，具有不同的属性。
我们之前提到的婴儿，长大后成为高能物理学家，可能会每天检查气泡室拍摄的图像。
图像通过气泡室拍摄（Schem..）
左边的图像：一个质子、一个中子和一个电子穿过气泡室的场。气泡室受到垂直于图面的磁场作用。中子没有电荷，因此不受影响，它直线前进。带电粒子的回旋半径（洛伦兹半径）非常不同。轻的电子在垂直于其轨迹方向的磁场中回旋得比重的质子更剧烈。它们的回旋方向也相反。
在磁场中的一组运动，由……管理。
但这个群还不存在。如果你找到了它，你会让很多人高兴。
不管怎样，我们的这位科学家在检查他的图像时，会发现属于不同运动集合的轨迹。
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这个一直直线前进，是中子。
-
这个缓慢地向右转，是质子。
-
这个迅速向左转，是电子。
右边的图像：一个电子和一个反电子，它们从同一辐射（虚线）中产生，轨迹对称，表明它们具有相反的电荷。
行为分类，作为运动的集合。
动量。
这个纯粹的几何对象可以被视为一组属性。暂且不考虑带电粒子，稍后再回来讨论。一个“相对论质点”具有根据数学家让-玛丽·苏利亚乌（数学物理领域的领袖）称为“与庞加莱群相关的动量”的属性。
相对论质点的属性包括：
-
能量 E
-
动量
p
- 自旋
l（与自旋相关）
- 通过
f
“动量”表示为：J = { E,
p
,
l
,
f }
顺便提一下：
因此，此后我们习惯用细体字母表示标量，用粗体字母表示非标量（方阵、行矩阵、列矩阵）。
说明：因此，我们可以用这些细体或粗体字母进行所有行列矩阵乘法，这非常方便。举个例子，二维欧几里得群元素的作用可以写成：
引入：
我们将得到更紧凑的写法：
g
现在呈现为一个矩阵，它由子矩阵组成：
-
a 是一个 (2,2) 的方阵。
-
c 是一个 (2,1) 的列向量（平移向量）。
-
0 是一个 (1,2) 的行向量：
一般来说，粗体的 0 可以是行向量或列向量。
因此，作用可以写成：
考虑到
a r
表示
a x r
（但最终会忽略矩阵乘法的符号）。
备注结束，回到动量主题。回到相对论质点的动量表达式。J = { E,
p
,
l
,
f }
E 是一个标量（能量）。
p
是动量矢量。
l
和
f
（粗体字母）是其他矢量（lx,ly,lz）和（fx,fy,fz）：即“自旋”和“通过”。
在我们将在本子网站 Geometrical Physics B（动态群的物理）中展示的个人工作中，问题正是要从更丰富的动量中（电荷：电荷、重子数、轻子数、陶子数和回磁系数）浮现其他“属性”。
苏利亚乌在20世纪70年代构建了一种方法，从管理它的群（在相对论中是庞加莱群）中显现质点动量的成分。参见著作：
《动态系统的结构》Dunod 1973
强烈推荐阿司匹林。
如果没有相当广泛的数学工具，就很难继续深入。也许以后在网站上，如果有爱好者，会以“你所知道的一切……”的风格进行。