5
一个(n,n)阶方阵作用于一个(n,0)阶列向量。我们已经看到，二维欧几里得群作用于(x,y)空间时，并不涉及对列向量的作用：
(51)
而是作用于列向量：
(52)
这代表了群在空间X上作用的一个例子，其中x ∈ X。可能存在无穷多种作用方式，仅以群在自身上的作用为例。作用由公理定义：
(53)
考虑列向量：
(54)
其中x可表示例如向量：
(55)
(56)
这些满足群作用的公理。于是我们可以尝试将表示群元素的方阵左乘一个行向量y，来检验这是否也是一种作用：
(57)
A g(y) = y x g
答案是否定的。这不是一个群作用：它不满足上述公理。这正是我所称的“反作用”，遵循以下“反公理”：
(58)
数学家会说，根本无需引入这种“反作用”，因为只需一套公理即可。确实如此。同样，被视为反作用的情形：
(59)
AAg(m) = g⁻¹ x m x g
其中m为给定向量，“群G中元素g对矩阵m的反作用”，g⁻¹表示矩阵的逆，可以视为元素g⁻¹的作用。
同理，一个“反作用”不过是某个作用的对偶。我认为引入这一概念在教学上较为方便。
从一个依赖n个参数pi的方阵群出发，可以通过对所有参数微分得到dpᵢ，从而构造出矩阵。这些矩阵由元素dpᵢ构成，不构成群，而被称为“群的切向量”：
dg
（其“李代数”，顺便说一句，严格来说也不是真正的代数，但暂且不论）。
因此，群可以在群的单位元e邻域内的“切向量”dg上通过“反作用”实现作用：
(60)
AAg(m) = g⁻¹ x dg x g （当g=e时）
于是得到如下图示：
(61)
但反作用正是作用的对偶。而当存在对偶关系时，标量积S保持不变。
因此，苏里欧试图构造群的第二种作用——即群在其“动量空间”上的作用。但这种被称为“伴随作用”或“本质作用”的作用无法直接出现。他必须经过一个中间步骤，即我所称的“群在自身切向量上的反作用”。
因此，所寻求的作用作为群在切向量上反作用的对偶而出现。而反作用的对偶，正是一个作用，可表示为：
(62)
Ag(J)
其中J即为“动量”：一组属于“质点”的属性的集合，该作用（称为“伴随作用”）描述了这些属性在运动过程中的变化方式。
存在一个群，将在后文给出，它是伽利略群的扩展，同样将在后文介绍，称为巴格曼群（1960年）。通过将此方法应用于该群，可以构建其动量JB以及群如何作用于该动量。
苏里欧常言道：
动量如影随形，紧随运动。
这是一幅优美的图景，取自他的著作《自然的语法》。质点确实在时空(x,y,z,t)中运动，其属性随之演化，这一过程由群在其动量空间上的伴随作用所描述。
返回子小节“群与物理”