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一个元素
g
属于庞加莱群的
Gp 由一组参数 {
p
i} 定义，正如我们已经提到的，这些参数的数量表示了
群的维度
。矩阵
d g
(g = e)
由量 {
dp
i} 构成。因此，上述映射的类型为：
(81)
换句话说，将一组标量
dp
i
对应到相同数量的标量
dp
i
'。
对偶性假设一个标量的不变性，根据：
(82)
其中n是群的维度（对于庞加莱群来说是十）。标量Ji代表动量的分量，数量相同。
我们将决定将动量
J
分解为两个对象。第一个是一个
4×4
的反对称矩阵
M
，因此有六个分量，第二个是一个“四矢量”
P
，即
4×1
的矩阵：
(83)
(84) J = {
M
,
p
, E} = {
M
,
P }
我们将标量积写成如下形式：
(85)
Tr 表示“求迹”，我们还有：
(86)
这是一个线性形式，其不变性保证了对偶性。
其中：
(87)
(87b)
(87c)
但
GG
= 1
因此，这等于：
(88)
识别
y 的项 (89)
也就是说：
(90)
----> 这里还有矩阵计算的细节。如果您愿意，
点击这里
可以直接查看结果。
在迹中，可以对项进行循环排列。
(90a)
(90b)
(90c)
右边的第二项等于一行矩阵与一列矩阵的乘积。
这等于逆序乘积的迹（接下来，简要地，一行矩阵与一列矩阵的乘积）：
(90d)
在这迹中，我可以进行循环排列：
(90e)
因此：
(90f)
(90g)
这里我们将再次应用关于矩阵迹的定理，这些矩阵是另一个矩阵与对称矩阵的乘积。
任何矩阵都可以对称化或反对称化。此外，矩阵与对称矩阵的乘积的迹为零。
(90h)
我可以将这一点应用于矩阵 (90i)
因为取了迹
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
但是：
(90l)
因此：
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
并且：
(90q)
最后：
(90r)
将项组合并改变撇号的位置，我得到了我的群作用：
图片
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