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自旋粒子
庞加莱群描述了点状物体的相对论运动。同样，巴格曼群（其表达式将在后面给出）描述了点状物体的非相对论运动，此时称为“质点”。
因此可以看出，这种技术，即对群在动量空间上的共轭作用的计算，使得一些隐藏的元素、物体的属性显现出来：动量的
分量
。
值得注意的是，这种由苏利亚（Souriau）提出的思路，使得物理学家的关键对象
以纯粹几何对象的形式出现
。因此，他在此实现了物理学的几何化这一前所未有的工作。
除了能量和动量之外，其他分量，“自转”和“穿越”使物理学家感到相当困惑。那是什么？
动量分量的表达显然取决于所选择的坐标系。
最简单的方法可能是回到非相对论的情况，即回到共轭作用的表达式，这种表达式将从巴格曼群的分析中浮现出来。
（111）
神秘的公式。它有什么用？它是如何运作的？
在上面的框中，物理学家会认出一些熟悉的对象：
（112）
只是速度向量{vx, vy, vz}的两种表达方式，第一种是列矩阵的形式，第二种是行矩阵的形式。两个矩阵的乘积是一个标量：
（113）
这看起来开始像
动能
。
mv 是动量。
传统物理学家在研究质点动力学时，只了解三件事：
-
质量 m
-
动量 mv
-
动能 1/2 mv²
是的，但速度是相对于什么的？
一个群，也是一种
视角
。我们可以认为，通过群将物体（如我们之前看到的欧几里得群）相对于一个假定固定的观察者进行移动，或者，物体是固定的，我们以另一种方式观察它。
如果考虑这种移动，即物体的运输，对于
动力群
（物理中的群，与欧几里得群不同，因为欧几里得群中没有时间出现），我们必须说我们
赋予了物体以运动
，即赋予它速度 v 和能量 E。
如果我们采取相反的观点：认为物体是固定的，而我们自己移动，那么群的意义是什么？
欧几里得群将意味着：
“从别处，以另一种角度观察”。
“别处”是
平移向量
：
（114）
“以另一种角度”是旋转矩阵 a，即空间中的旋转（可以用欧拉角来明确表达，但我们不这么做）。
对于动力群，这种视角必须更加丰富。仍然在巴格曼群的背景下，引入速度 v 的意义是：除了观察者从别处（平移向量 c）观察这个质点，以另一种角度（旋转矩阵 a）观察之外，观察者本身也以速度 v 相对于这个假定静止的质点运动。
为了完整，为了增加复杂性，观察者并不是与被观察的质点同时变化的，而是与它有一个时间差 Δt。
换句话说，他从别处观察，但这是时空上的别处，对应于时空平移向量：
（115）
在这种“退后一步”的视角下，相对于这个质点，我观察到了什么？首先，我发现：m' = m
这不会影响它的质量。
我可以简化生活，取消旋转。观察一个从别处、从另一个时间、延迟的质点，站在一个以速度 v 移动的滑板上，已经够复杂的了。是否有必要再扭头呢？
不。我们让
a = 1
。
但通常在计算中会忽略这个细节。这样特定化的共轭作用变为：
（117）
在这里，“考虑”应按其词源意义来理解。当我考虑一种情况，天空、战场、飞机拍摄的电影时，我做了什么？
一个法警会写：
- 考虑现场的情况……
静态的视角，对应于欧几里得群。法警在距离 c 处，同一时刻（Δt = 0），原则上静止（v = 0）地观察物体。如有必要，从特定角度，即“某个角度”观察。
一个将军在侦察机中散步，是一种类似法警的人，他移动（v ≠ 0）。
但一个参谋长观看由间谍飞机或“无人机”拍摄的影片时，他面对的是一个在时间上有所延迟的情况。他必须说：
- 考虑目标，从某个点、倾斜转弯、以某个速度观察，而且是两个小时之前的样子……
目标本身没有特殊的速度。即使它是一个“固定装置”，也不能认为它是静止的。即使地球在移动，太阳也在移动，银河系也在移动，等等。
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