12
具有非零质量的自旋粒子。
与光子和中微子（零质量粒子）不同，此时能量与动量之间不再存在直接联系。
(131)
其中 m 为静止质量，即与巴格曼群所导出的质量一致，我们有：
(132a)
(132b)
我们仅限于考虑：
质子
电子
中子
及其反粒子。
粒子具有不同的电荷、属性，这些也并非来自庞加莱群：
-
电荷 e = ±1
-
重子数 cB = ±1
-
轻子数 cL = ±1
-
μ子数 cm = ±1
-
τ子数 ct = ±1
-
旋磁比系数 v
所有这些量的反号对应于 C 对称性。因此，我们可以将它们归纳成如下表格：
(133)
该矢量可取任意方向，如同自旋一样。
磁矩等于旋磁比系数 v 乘以自旋 s。
(134)
此处我们用粗体 s 表示自旋，这意味着粒子自旋的方向可以是任意的。但其模长是粒子的基本特征，且本质上保持不变（粒子旋转的几何量子化）。
C 对称性，即电荷共轭，反转了旋磁比系数 v，因此也反转了磁矩。自旋本身保持不变。
永磁体。
若将一块软铁置于足够强的磁场中，然后逐渐减弱该磁场，金属将保留永久磁化。发生了什么？
磁场使电子的自旋方向对齐，这些电子如同微型磁体，形成小磁偶极子。
但为何它们会保持所施加的方向？这是由于“模仿效应”：每个电子都沿着邻近电子产生的磁场方向排列。其他电子也如此，所有磁矩因此保持平行。这就像“空间中的潘居尔”——除非加热金属块或对其敲击，否则这种良好的电子有序状态将一直维持。
反物质的磁矩。
电荷共轭变换，即狄拉克意义上的物质-反物质变换（稍后将解释其含义），由于旋磁比系数的反号，导致磁矩反向，而自旋保持不变。
显然，这种 C 对称性既不改变粒子的能量，也不改变其动量。
洛伦兹群的四个组成部分。
如前所述，洛伦兹群 L 的元素 L 是通过公理定义的，必须满足：
(135)
(136)
所有满足此定义的矩阵 L 都属于洛伦兹群。这是一个 4×4 的矩阵，例如可作用于：
(137)
即作用于时空。因此我们自然会问：这些矩阵是否能在该空间中实现对称性？例如，能否将 x 变为 -x？这些矩阵是否可划分为不同子集——一些实现该操作，另一些则不能？
早在很久以前（英文：many beautiful candles ago），人们已对此进行了探索，并证明洛伦兹群实际上由四类矩阵构成：
Lₙ —— 既不反转空间，也不反转时间的矩阵。
Lₛ —— 反转空间的矩阵。
Lₜ —— 反转时间的矩阵。
Lₛₜ —— 同时反转空间和时间的矩阵。
我们称这些集合为群的“分支”。因此，洛伦兹群是一个包含四个分支的群。
我们可以立即构造出四类矩阵，每类分别属于上述子集：
(138)
Aₙ = 1（单位元），属于 Lₙ：既不反转空间也不反转时间。
Aₛ 属于 Lₛ：反转空间。
Aₜ 属于 Lₜ：反转时间。
Aₛₜ 属于 Lₛₜ：同时反转空间和时间。
要构成一个群（此处为洛伦兹群的子群），矩阵集合必须包含所考虑维度（此处为 4×4）的单位元 1。只有 Lₙ 中的矩阵满足这一条件。它们构成洛伦兹群的一个子群。由于该集合包含群的单位元，也称为群的单位分支。其他矩阵集合不构成子群（因为不包含单位元）。
注：
(139)
Aₜ = -Aₛ Aₛₜ = -Aₙ
于是我们可以考虑集合 Lo = Lₙ ∪ Lₛ，它是洛伦兹群的一个子群，称为正则子群[1]。而矩阵集合 Lac = Lₜ ∪ Lₛₜ 不构成群，但其包含时间反转的分支，称为反则子群[12]。完整的洛伦兹群为：
(140)
L = Lo ∪ Lac
但我们也注意到，元素：
(141)
m Lₒ，其中 m = ±1
已覆盖整个群。
返回至“群与物理”子目录