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庞加莱群的四个组成部分。
从洛伦兹群可以构造出已提及的庞加莱群：
(142)
C 是“时空平移”矢量。
(143)
庞加莱群也将有四个组成部分，每个部分对应于洛伦兹群的相应组成部分。
上图展示了群在其运动空间上的作用。但更有趣的是，这四个组成部分对动量的作用。参见：Souriau，《动力系统结构》，Dunod 1973（英文版由 Birkhauser 1997 出版），第三章，第 197 页，标题为：
空间与时间的反演。
回顾与庞加莱群相关的动量的四个组成部分：
E：能量
p：动量
f：通过量
l：自转量
为了贴近 Souriau 的记号，我们记作：
- Lₙ 为洛伦兹群的中性部分。
- Lₛ 为反演空间的部分。
- Lₜ 为反演时间的部分。
- Lₛₜ 为同时反演空间与时间的部分。
由于 C 是时空平移，庞加莱群的四个组成部分为：
gₚ(Lₙ, C)：中性部分
gₚ(Lₛ, C)：反演空间
gₚ(Lₜ, C)：反演时间
gₚ(Lₛₜ, C)：同时反演空间与时间。
我们来研究这些变换对动量各分量的影响。需要考虑群在其动量空间上作用的公式：
(144)
P 是四维矢量：
(145)
我们可以写出需要分析的矩阵：
(146)
其中 l = ±1 且 m = ±1。
Lₙ = L(l = 1; m = 1)
Lₛ = L(l = -1; m = 1)
Lₜ = L(l = 1; m = -1)
Lₛₜ = L(l = -1; m = -1)
(147)
(148)
接下来考察对自转量和通过量的作用。
(149)
但在我们关心的情形中，C = 0
(150)
因此
l′ = l
f′ = l m f
由此可得：
(151)
gₚ(Lₙ, C)：
E → E；p → p；f → f；l → l
gₚ(Lₛ, C)：
E → E；p → -p；f → -f；l → l
gₚ(Lₜ, C)：
E → -E；p → p；f → -f；l → l
gₚ(Lₛₜ, C)：
E → -E；p → -p；f → f；l → l
反演始终不改变自转量 l。
而时间反演与能量反演 E → -E 是等价的。
当自转量被量子化时，它等价于自旋。任何反演都不会改变它。
自旋（作为粒子自转矢量的模）只是一个数值。
静止粒子的能量为 mc²。
时间反演等价于质量 m 的反演。
空间反演不改变质量。
Souriau 将前两个组成部分称为“同向的”（orthochrones），
后两个称为“反向的”（antichrones）。
他指出，这一切引出了负质量的问题，而物理学家通常不喜欢这个问题。
事实上，当两个分别具有能量 +mc² 和 -mc² 的粒子相遇时，会发生什么？
它们将完全湮灭。
这不仅仅是普通的物质-反物质湮灭（后者产生光子），
而是一种能从“无”中产生“无”的现象。
为了避免负质量带来的问题，Souriau 提出了两种解决方案。
第一种是简单地规定负质量粒子不存在。
第二种是排除反向变换。
我们可以这样转述：
- 上帝，以其无限的智慧……
继续建立我们自己工作的基础元素。
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