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庞加莱群的中心扩张。
在J.M.Souriau所著《动力系统结构》一书中可以找到此类扩张的描述。他的几何化量子化方法，能够从该群出发，推导出量子力学的方程。例如，描述非相对论质点的巴格曼群，导出了非相对论的薛定谔方程。
其出发点是伽利略群。这是一个5×5的矩阵，按如下方式构造：
(152)
旋转矩阵依赖于三个参数，即欧拉角。因此该群的维数为十。
使用如下记号：
(153)
(154)
与时空相关联：
(155)
尽管看起来有些奇怪，但该群在相空间上的伴随作用构造中，并未显现出质量m作为一个几何对象。这只能通过该群的一个非平凡扩张——巴格曼群（1960年）实现。
(156)
标量f的存在使该群的维数增加一维：变为十一维。
该群作用于一个五维空间——时空，外加一个额外维度z，其作用形式为：
(157)
巴格曼群在其动量空间上的伴随作用已在上文给出。可以看出，通过添加标量f，使群的维度增加一维，同时在动量中也增加了一个分量，该分量将被识别为质量m（在此过程中，质量是守恒的：m' = m）。
从巴格曼群出发，并利用其几何化量子化方法，Souriau便能构造出非相对论的薛定谔方程。
相对论量子方程是克莱因-戈登方程。因此，自然地，人们会尝试寻找它所源自的群。这正是中心扩张：
(158)
“pe”表示“扩展的庞加莱群”。这里我们是从洛伦兹群Lo的正向子群出发，构建庞加莱群。
与该群相关联的空间同样是五维的：
(159)
(t, x, y, z, z)
。
这种扩张比巴格曼的更简单，但事实上相对论情形总是更简单。顺便可证明：在第一行的1和f之间，只能出现行矩阵0 = (0 0 0)，即全为零。
几何化量子化方法由此导出克莱因-戈登方程。当讨论群在其动量空间上的作用时，得到如下结果：
(160)
J_pe = {c, M, P} = {c, J_p}
计算并不复杂，实际上完全对应于庞加莱群在其动量空间上伴随作用的计算。
我们计算其逆作用：
(160b)
然后表达内积（对偶性）的不变性：
(160c)
如果你能顺利完成这个计算，那将是一个非常好的迹象，意味着你已经开始进入这个复杂的领域。
于是出现了一个标量c，其唯一作用是保持不变。它代表什么？没有解释。它只是“某种守恒量”。我们可以赋予它例如电荷的属性。
人们自然想到，可以多次实现这种扩张：
(161)
后文将证明，这种操作可以无限次进行，每次增加一个额外的标量：
(162)
J_pe = {c₁, c₂, c₃, ..., M, P}
J_pe = {c₁, c₂, c₃, ..., J_p}
其伴随作用为：
(163)
我们可认为动量分量的某些离散值对应于粒子的电荷。
读者可能会说：确实，我们也可以添加例如六行额外的行。这样就能得到一些标量的不变性，可将其识别为：
(164)
c₁ = e（电荷）
c₂ = cB（重子数）
c₃ = cL（轻子数）
c₄ = cₘ（μ子数）
c₅ = cₜ（τ子数）
c₆ = v（旋磁比）
只需考虑一个十维空间上的群及其对应作用：
(165)
(x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆)
(166)
再次，我们围绕洛伦兹群的正向子群Lo构建该群：
Lo = Ln（单位成分）
» Ln（空间反演）
这个具有两个分支的群，简单地引入了六个标量，它们伴随粒子但不与任何事物相互作用。动量变为：
(167)
J_pe = {q, cB, cL, cₘ, cₜ, v, J_p}
其中J_p为“庞加莱部分”。但这种构造的实际意义仍然有限。
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