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那么反物质呢？
它直接与额外变量z相关。
在《几何与相对论》一书中，赫尔曼出版社，1964年，第七章：五维相对论，第413页，苏里奥指出，它的反转等同于电荷共轭。
我们可以将第五维表示为“纤维”。将时空限制为二维x和t：
（214）
给这个时空表面赋予一个“纤维”z。在每个点(x, t)上，两边都延伸出一个对应于坐标z的“纤维”。
这时，该表面成为两个(n+1)维空间的边界，在图中是(2+1=3)，一个半空间(z>0)和一个半空间(z<0)。在表面上z=0。
（215）
在动量空间中，有三种类型：
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物质类型
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反物质类型
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光子类型。
在运动空间中，对应着相应的运动。
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物质在半空间(z>0)中运动
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反物质在半空间(z<0)中运动
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光子在边界表面(z=0)中运动：它们是自身的反粒子。
在我的正时子子群Go中，我可以找到一些元素，使一个运动转换为另一个运动，因此一个动量转换为另一个动量，如果这些元素属于同一类型。
但我不能将物质粒子转化为反物质粒子或光子。
这是三种不同的类型。
它们在完整的空间(z, x, t)中处于不同的“水域”，但对于只“看见”时空的观察者来说，(x, t)中的轨迹是无法区分的。
我们已经看到，我将一个额外的维度加入群中，并让其作用于五维空间，导致了一个神秘标量c的出现。我们将在后面看到如何操控它，使其对群作用敏感。目前，我们可以赋予它相当模糊的“电荷”地位，光子的电荷为零。
这样，我们对反物质的性质有了更清晰的认识。它具有其能量E和动量p。
我们还看到，通过扩展的庞加莱群（作用于五维空间）所描述的反物质，对应于一个由正能量E（与质量相同）和给定动量定义的物体的两种不同运动，这种运动的第二面涉及维度z。因为由扩展的庞加莱群管理的质点，并不是在(x, y, z, t)中移动，而是在(z, x, y, z, t)中移动。
因此，物质被认为是在半空间z>0中演化。
反物质在半空间z<0中。
光子在平面z=0中。
但对于柏拉图式的观察者，躲藏在洞穴深处，看不到这些在(z, x, y, z, t)中的运动，只看到它们在洞穴墙壁上的影子(x, y, z, t)，这对他来说是一样的。
如果你坐在洞穴的深处，看到一个中子和一个反中子经过，你无法事先知道：
-
一个在z>0处航行
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另一个在z<0处航行。
由于我们已将动量空间限制在子空间J+，只处理正能粒子（包括光子）的运动，
我们的反物质也将具有正的能量和质量。
但我们看到，如果重新引入庞加莱群的反时子成分，问题会立即出现：
（216）
反时子部分包含一些元素，它们通过共轭作用使所有粒子（包括光子、物质和反物质）的能量反转。
看看整个游戏场地。
（217）
问题在于，庞加莱群的反时子元素通过共轭作用产生能量反转：
（E→-E；m→-m）
（218）
“苏里奥的解决方案”（见《动力系统结构》，法国邓诺德出版社，1973年，第200页）是假设上帝并不愚蠢到创造出这样的东西，并且出于他无限的智慧，谨慎地从庞加莱群中去除了反时子部分，使得每种物质类型都保持在自己的位置，牛羊都被很好地看守着。
但我们可以考虑另一种解决方案。
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