如何将一个交叉帽表面转变为 Boy 表面（左或右，任选其一），并经过施泰纳罗马表面。
意大利语：安德里亚·桑布塞蒂，罗马大学
2003年9月27日 - 10月25日
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正如吉卜林所说，这需要“极大的智慧与神奇的力量”。
我虽已退休，但还是得说，我仍会不由自主地做一些研究，就像别人在闲暇时织毛衣一样。如果您有耐心，并准备一些200克/平方米的格子硬纸板，您自己就能复现所有这些模型。我的朋友克里斯托夫·塔迪正基于这些模型制作一段动画，效果应该不会差。
接下来的图示中将出现交叉帽表面以及施泰纳罗马表面。但您也可以前往“虚拟现实”部分，通过在您的电脑上下载 Cosmoplayer 程序来查看。请务必下载，真的非常有趣。整个过程都围绕着“尖点”展开。当您骑马并用力夹紧双腿时，这些尖点会自然形成。此时马的身体会被压扁成一条线段。右大腿会沿着该线段附着在右肩上，左大腿则附着在左肩上。至于那个尖点，您不必寻找——您就正坐在上面。
但这一切在图中都画得圆润光滑。现在我们转向尖点的“多面体表示”（正如立方体或四面体可以被视为一个简单球体的多面体表示一样）。粗线代表“自相交曲线”，它终止于尖点 C。
请打印这些图示，这样更好。接下来您需要学会在不同构型中识别尖点，不要将其与多面体的普通顶点混淆。如果您愿意，可以用硬纸板制作这些不同物体，这样理解会更深入。下面是一个关键操作，称为“一对尖点的生成与消解”。第一个图示描绘的是一种类似自相交圆柱体的形状，其相交部分为粗线所示的线段，横截面形状像一个倒置的希腊字母γ。我们通过“捏压”这个横截面形似“倒泪滴”的管状结构来变形该表面。这样，这个“泪滴”逐渐退化为一个点 S。随后，该点分裂为两个尖点。这就是一对尖点的生成过程。相反的操作则会消灭两个尖点。下面展示了该操作的多面体版本。
接下来是另一种多面体表示的变换方式，它与您即将看到的表面变化形态相似。
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