如何将一个克劳斯帽表面
转化为博伊曲面（左或右，任选其一），
经过施泰纳的罗马曲面。
意大利语
：安德里亚·萨姆布塞蒂，罗马大学
2003年9月27日 - 10月25日
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这里是一个“克劳斯帽表面”
（就像您在虚拟现实图像中所看到的那样）。它有两个尖点，构成一条自相交线的顶点。您可以用夹子夹住一个气球来制作它。
您也可以制作多面体的模型。下方的模型将特别引起我们的注意。
在第4张图中，展示了最难理解的部分。我觉得，仅靠观察图像，几乎不可能真正理解这些物体。请动手制作模型。简单来说，就是将尖点
C2
向“曲面内部”拉（顺便说一句，这其实毫无意义，因为您肯定已经注意到，克劳斯帽表面是单侧的：它没有内外之分）。持续拉伸，曲面会“自我穿过”，自相交部分会逐渐形成一个8字形的曲线。顺便说一句，这时出现了一个三重点
T。
在多面体形式下，该曲面更容易理解。在下方，我们放大了一些部分，以说明我们为何要将此物体转化为施泰纳的罗马曲面（参见虚拟现实模拟）。其最简单的多面体形式是将四个立方体拼接起来（这里只显示了三个）。
第5张图：左侧为多面体形式，右侧为圆滑形式。箭头穿过我们即将“挤压”的点。下方是挤压操作的开始阶段。
第6张图：挤压操作完成，形成一个奇点
B。实际上，由于我们从两边同时挤压（为节省时间），会形成两个奇点
S1 和
S1，接着形成两个尖点。此时，若没有硬纸板、剪刀和胶带，您将无计可施。
第7张图：我们只是简单地移动了各个尖点。如果
C2
点“明显可见”，那么您可能更难识别
C3 和
C4 也是尖点。然而它们确实存在，位于一条自相交线的两端。在
C3 点上方，只是我称之为“正锥”的一点，即曲率正值集中之处（我将曲率负值集中的点称为“负锥”）。稍微变形这个物体，即可得到施泰纳罗马曲面的多面体形式（施泰纳在罗马发明的；参见其虚拟现实图示）。
因此，游戏完成。根据所设定规则的不同，存在多种类型的曲面。那些不自相交的曲面称为“嵌入”（如球面或环面在
R³ 中的嵌入）。而当曲面自相交，但切平面连续变化且不退化时，称为“浸入”。例如：克莱因瓶的经典表示。在
R³ 中，克莱因瓶无法以嵌入形式表示，它必然自相交。浸入具有自相交集合，但不包含尖点。这些集合是连续的曲线，但可能在双重点或三重点处相交。注意：球面可以通过自相交的方式实现为浸入（非嵌入）。这正是实现球面“翻转”的方法（参见A.菲利普斯1967年的研究，其核心步骤是博伊曲面的双重覆盖；另见B.莫林与J.P.佩蒂特1979年的研究，其中以莫林的“四耳模型”为核心，下方展示的是我十年前发明的该模型的多面体表示）。
使用纸张和剪刀制作此物体的组装图
如果我们放宽规则，允许这些物体包含尖点，则得到所谓的“浸射”（如克劳斯帽表面、施泰纳的罗马曲面）。我不确定“浸射”是否是正确的术语，但由于尚未找到任何数学家能为我澄清这一点，我便自行创造了这个术语，暂且使用，直到有专家出现为止。因此，克劳斯帽表面和施泰纳的罗马曲面都是“射影平面”的浸射。
坦白说，经过二十五年的研究，以及我在磁流体动力学领域遭遇的种种失望，我最初进行这些工作，是因为它们似乎与任何军事应用都毫无关联。但正如我老朋友米恩所提醒我的，术语“浸射”可能引起误解，让海军误以为我正试图通过这些研究隐藏潜艇推进技术的进展。
“尖点成对生成与消除”的规则，允许我们在一个物体的不同浸射之间转换，而这正是我们刚刚完成的操作，表明克劳斯帽表面和施泰纳的罗马曲面是同一对象——即“射影平面”的两种浸射。
请不要试图想象一个“射影平面”。这个物体只能通过多种不同的表示方式来理解。至于“射影”一词，不过是数学家们为阻止外人进入其封闭圈子而创造的上千个术语之一。《赞尼切利》在数学上对您毫无帮助。
最后，我们来看看如何过渡到博伊曲面，它同样是射影平面的一种浸入。
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