通过斯坦纳罗马面，将十字帽面变换为布伊面

如何通过施泰纳罗马面将一个交叉帽（左或右任选）转化为博伊曲面。

2003年9月27日 - 2003年10月25日

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看，这是一个交叉帽（就像你在虚拟现实图像中所看到的那样）。它有两个尖点，围绕着一条自相交线。你可以用卷发棒捏一个气球来制作它。但你也可以构建它的多面体表示形式。下面这个将特别引起我们的注意。

在这张图4中，是理解起来最困难的部分。我认为，普通人仅凭观察这些图像几乎不可能理解它们。请动手制作这些模型。换句话说，我们将尖点

C 2

向“曲面内部”拉扯（当然，这在逻辑上毫无意义，因为正如你可能立刻注意到的，交叉帽是单侧的。当你持续拉扯时，曲面会自我穿过，自相交部分会以“圆鼓鼓”的方式形成一条8字形曲线。此时，一个三重点

也随之产生。

曲面以多面体形式呈现时更易于理解。在下方，我们放大了某些部分，以说明为何要将此物体转化为施泰纳罗马面（参见虚拟现实展示）。其最简单的多面体形式是将四个立方体拼接起来（此处只看到三个）。

图5：左侧为多面体，右侧为圆鼓鼓形状。箭头所指的路径将被“捏合”。下方显示了捏合的起始阶段。

图6：通过捏合形成一个奇点

。实际上，由于我们从两边同时捏合以节省时间，因此会形成两个奇点

S1 和

S1，以及两对尖点。此时，如果没有硬纸板、剪刀和胶带，你就麻烦了。

图7：我们只是移动了各个尖点的位置。如果点

C2 是“明显”的，那么你可能会更难识别点

C3 和

C4 也是尖点。但它们确实位于自相交线的末端。在点

C3 的上方，只是我称之为“正曲点”的一点，即正曲率的集中点（负曲率的集中点称为“负曲点”）。稍微变形这个物体，你就会得到施泰纳罗马面的多面体形式（施泰纳在罗马发明的四次曲面）。

参见其虚拟现实展示。

因此，大功告成。根据所设定的规则，存在不同类型的曲面。那些不与自身相交的曲面被称为“嵌入”（例如球面或环面在

R3 中的嵌入）。当曲面与自身相交，但切平面连续变化时，它们被称为“浸入”。例如，克莱因瓶的经典表示形式。在

R3 中，克莱因瓶无法以嵌入形式存在，它必然与自身相交。浸入具有自相交的集合，这些集合中不含尖点。这些曲线是连续的，但可能在某些位置交叉，形成双重点或三重点。注意：球面也可以以浸入形式呈现，只需让它简单地自我相交即可。事实上，正是通过这种方式，人们才得以实现球面的翻转（A. Phillips, 1967，其关键步骤是博伊曲面的双叶覆盖；B. Morin 和 J.P. Petit, 1979，其核心模型是莫林的四耳模型，下图是我大约十年前发明的多面体表示）。

此物体的制作指南，通过剪裁拼接实现。

如果我们放宽规则，假设这些物体包含尖点，那么就得到了“浸没”（例如交叉帽、施泰纳罗马面）。我不确定这个术语是否准确，但由于我未能找到任何数学家能为我解惑，我便觉得创造一个临时术语很有趣，直到有专家出现为止。因此，交叉帽和施泰纳罗马面可被视为“射影平面”的浸没。

坦白说，在长达二十五年的MHD研究失败后，我开始这些工作，是因为我认为它们与任何军事应用都相距甚远。但正如我老朋友Mihn所指出的，术语“浸没”可能引起误解，让法国海军误以为我试图通过这些研究隐藏某种潜艇推进技术的突破。

“成对产生与消除尖点”的规则，使我们能够从一个物体的浸没过渡到另一个。我们刚刚就展示了交叉帽和施泰纳罗马面都是同一个被称为“射影平面”的物体的浸没。

不要试图想象“射影平面”长什么样。这个物体只能通过其各种表示形式来理解。至于“射影平面”这个词，它不过是数学家们为迷惑那些试图进入其封闭圈子的人而发明的千百个术语之一。《拉鲁斯词典》在数学领域对你毫无帮助。

接下来，我们转向博伊曲面，它是射影平面的一种浸入。

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