通过施泰纳罗马面，将克罗斯帽变换为布伊面

如何通过施泰纳罗马面将一个交叉帽（左或右任选）转变为布伊面。

2003年9月27日

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现在以另一个角度展示该模型：

图14：重复相同操作，创建自交曲线的第三“耳”。在多面体形式中，它由三个共用一个顶点（三重点T）的正方形组成。

图15：旋转物体后，您将看到我曾在《拓扑奇境》中介绍过的布伊面多面体版本（其中包含一个可拆卸的拼装图，用于构建该模型）。

最后一张图：我尝试描绘四次方的施泰纳面（而布伊面是六次方的）在扭曲并转变为布伊面的过程。

可以看出，要理解这种“圆润”的物体，需要相当的训练。当视线中同时叠加超过两层曲面时，我们的眼睛会感到极度不适。因此，多面体形式具有重要意义，它使普通人也能理解那些在几何学中被视为复杂精妙的变换，因为人们需要自己动手制作模型。顺便一提，根据所选择的尖点对，我们可得到“右”或“左”的布伊面（这两个词完全是任意的）。实投影平面以两种“对映”的形式嵌入，互为镜像。我们看到，通过一个“中心”模型——施泰纳罗马面，可以从一个右布伊面过渡到左布伊面。

这些图如果能发表在《科学》或《研究》杂志上，想必会很有趣。但二十年来，由于我被指控“飞碟异端”，这些杂志一直禁止我投稿。谢谢你们，赫尔维·蒂斯先生和菲利普·布尔朗先生。我已记不清向这些杂志投递过多少篇类似文章，结果总是礼貌地被退回。最终，我只能接受自己被“开除教籍”的身份。

顺便说个轶事：在法国，有一个“达朗贝尔奖”，专门奖励数学普及读物的作者。这个故事是一位负责评奖的委员会成员告诉我的（奖品里确实有些钱）。对话如下：

但说真的，我们能不能把奖颁给皮托？他写过《几何奇境》《黑洞》和《拓扑奇境》这些杰出作品。
是的，但他不止写这些。
你指的是什么？
他还写了《沉默之墙》。
哦，那当然……

是的，《沉默之墙》于1983年出版，是一本专门讲述MHD（神秘飞行器动力学）的漫画书。众所周知，这门“臭名昭著”的科学具有某种神奇能力，能让飞碟以超音速飞行而不产生音爆。

藏起这门科学，别让我看见。

我手头还有一版“立方体翻转”的精美版本，其中央模型美轮美奂，完全不是莫林变体的多面体形式。全部出自我本人之手。总有一天……

2003年10月22日

：根据计数器的数字，这些页面似乎并不受欢迎。2003年10月13日，我应特罗特曼之邀，在马赛查图-贡贝尔特数学与计算机中心（CMI）做了一场讲座。期间我展出了约三十个纸制模型，这些模型不久后将首次向公众展示，照片由克里斯托夫·塔迪拍摄。

做讲座时，现场气氛会自然形成。下图中，一位几何学家正表现出困惑。

背景中，是部分展出的模型。我曾提问：

有谁以前见过施泰纳罗马面吗？请举手。

无人举手。因此我决定用我带来的笔记本电脑，以虚拟方式展示该物体，该模型由工程师克里斯托夫·塔迪和格勒诺布尔劳厄-朗之万研究所（ILL）的弗雷德里克·德桑普合作完成。显然，这种展示让听众感到震惊，他们很少见到数学曲面能如此自由地旋转。

前景中的两张纸板，用于按逻辑顺序展示后续模型。其中“绿黄”模型以多面体形式展示了创造与消除一对尖点的关键工具。最远的白色物体是交叉帽的多面体版本，它先转变为施泰纳罗马面的多面体形式（一米远），然后可自由地变为“右”或“左”的布伊面。

模型分析引发了听众的诸多讨论。一位几何学家问道：

如果按这个顺序沿着模型走，可以从交叉帽变为布伊面，那么反过来是否也能把布伊面变为交叉帽？

我肯定地回答。他受到鼓舞，继续说：

如果在到达施泰纳罗马面阶段时停下来，是否就能反过来转向一个镜像布伊面？

我再次表示赞同。但遗憾的是，无人愿意进一步解释这个奇异世界：封闭曲面的嵌入中，成对地生成或消除尖点，整个过程可视为嵌入世界的某种延伸。我觉得“亚嵌入”（submersions）这个词很贴切。若有读者能提供相关见解，我将非常欢迎。

尖点处的曲率集中

我们通过计算顶点角度之和，并与欧几里得角度和 2π 比较来计算曲率。

左上角展示了尖点的多种多面体表示之一。“拆解”该物体（右图）导致角度和超过欧几里得和 2π，超出量为 2α。由此可得，该尖点C附近的集中角曲率为 -2α。若角α等于 π/2，则负曲率值为 -π（见左下图）。实际上，尖点处的集中曲率可以取无穷多种值。右下角图中，我们进一步增加角度和，使曲率小于 -2α，从而增强负曲率。

反过来操作，我们甚至能得出一个相当惊人的结果：让C点处的集中角曲率……为零：

现在从一个包含两个尖点的交叉帽多面体表示出发，每个尖点的负曲率均为 -π：

有八个“正点”（posicoins），对应 +π/2 的曲率。再添加四个曲率为 +π/4 的“正点”和四个曲率为 -π/4 的“负点”。加上两个曲率为 -π 的尖点。

总和：2π

将总曲率除以 2π，我们得到所有实投影平面表示（如布伊面）的欧拉-庞加莱特征值。

在讲座中，我提到了利用球体翻转来交换交叉帽上两个尖点的方法与艺术。我不记得是否已将相关内容发布在我的网站上。网站内容太杂乱了。我得找找，否则就放上去。这挺有趣的。不过，这种演示在讲座中并未赢得一位与会者的青睐。

我不明白皮托为何要用如此复杂的装置来证明交叉帽上两个尖点的对称性。其实有更简单的方法。

他随即在黑板上画出一个被两根杆子压扁的球体，将两杆连接起来，结果确实形成了一条自交线段，两端为两个尖点，与交叉帽的结构类似。可惜，他很快意识到——这根本不是交叉帽。

天啊，那到底是什么？有人问。

这不过是一个带有两个尖点的球体。若让这两个尖点融合，自交线将变成一个简单的圆。在左下角（截面图）中，我们得到一个球体的嵌入，只需稍作变形即可变为其嵌入形式。此外，我们还可以将其转化为该曲面的多面体表示：

这是双面的，曲率为 2π。

因此，我们可以对这些“亚嵌入”进行许多有趣的探索。例如，取一个环面的嵌入，方法是将“无穷”符号或“8”字绕某一轴旋转。

通过尖点汇聚技术，我们能迅速得到标准环面嵌入，如后续图示所示。

但有时事情并不那么简单明了。例如，我将一个球体夹在两条长度小于直径的线段之间，仍然得到两个尖点。

由于该曲面可内接一个莫比乌斯带，因此它是单侧的。我们展示了其多面体表示，可用于计算总曲率。结果为零。若我未判断错误，这应该就是克莱因瓶。我们通常只了解一种最经典的嵌入形式，其自交线为一个简单圆。但还有其他形式，如本图所示。坦白说，我尚未找到将上述物体转化为克莱因瓶嵌入的方法。此外，我也不确定这些不同嵌入是否属于同一同伦群（球体仅有一个）。原则上并非如此，因为环面有四种不同的嵌入方式，它们无法通过正则同伦相互连接。暂且，我尝试通过增加两个额外的尖点，将该曲面改造为两个交叉帽通过管子连接。拆分后，我们得到欧拉-庞加莱特征值为零。

这个“奇异曲面”应当能转化为克莱因瓶的某种嵌入形式。但到底是哪一种？无论如何，这里展示了一种通过将“8”字绕轴旋转并附加半圈旋转得到的形式：

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