球体翻转的中心模型
2001年12月31日
你们都看到过，在网站首页的左侧，有一个奇怪的物体不断旋转。这是什么？
有一天，当我有时间的时候，我会在网站上安装一个关于球体翻转的描述，就像我在1979年1月的《Pour la science》杂志中所展示的那样，那已经是……22年前的事了。显然，这需要大量的细节和介绍。翻转一个球体是什么意思？对普通人来说，球体是在三维空间中，距离固定点O为R的所有点的集合。而几何学家则会继续称“球体”为一个类似于“变形球”或“土豆”的物体。为了更准确地理解这些概念，请购买带有漫画《Le Topologicon》的CD Lanturlu。但数学家走得更远。当一个表面被称为“正则”时，可以在每个点定义一个切平面。这已经可以设想从“初始球体”无限地变形为无数个“土豆”，而该表面的面积可以是任意的。然而，在一个“物理宇宙”中，试图变形这个球体会遇到无法使其自身穿透的困难。如果这些穿透甚至接触都被禁止，那么我们就称之为
S2球面的嵌入
。但数学家可以拥有所有权利。对他来说，球体是一个“虚拟”对象，其中的表面穿透成为可能。下面的图画显示了一个“自我穿透”的球体。我们称这种球体的表示为
浸入
。
浸入具有一个
自相交集
或
自交集
（这里是一条简单的圆形曲线）。切平面必须连续变化。然而，当你看上面的图画时，你会看到操作将球体的一部分（用绿色表示）从内部翻转到外部。要完成这样的翻转，需要压扁这个“赤道状的管子”。这在表面上看起来似乎有问题。这种压扁会破坏切平面的连续性。因此，该操作将包括一个
不是浸入的步骤
。
有一天，美国数学家斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）证明了“S2球体只有一种浸入类”。这句话的含义是，人们应该能够连接一系列球体的浸入，从而从“标准球体”转换到其“对极”表示，即所有点都被替换为其对极点。简而言之，就是翻转的球体。Raoul Bott是Smale的导师。Smale的证明是纯粹形式的，似乎无懈可击，但没有人知道如何实际操作。Bott一直对Smale说：“给我看看你是如何进行的。”而Smale则以他著名的“舌头上的头发”回答：“我一点头绪都没有。”后来，Smale获得了菲尔兹奖，即数学界的诺贝尔奖。顺便提一下，你可能会想知道为什么诺贝尔从未设立数学奖。答案很简单：他的妻子和一个数学家跑了。
多年来，事情一直如此，直到1967年，美国数学家Anthony Phillips在《科学美国人》上发表了一种球体翻转的最初版本，极其复杂。1970年代初，法国数学家（盲人）Bernard Morin发明了第二种方法。我是第一个绘制出这些变换的人，我已经说过，这将是我网站上一篇较长文章的内容。无论如何，这使我们得出一个附带结论：表面可以有
多面体表示。一个立方体或四面体可以被视为球体的多面体表示，因为这些物体具有相同的
拓扑
。在这方面，请参阅我的漫画《Le Topologicon》。此外，人们会理解，如果可以翻转一个球体，那么也可以翻转一个立方体。Bernard Morin发明的变换（我在1979年1月的《Pour la science》文章中展示了）经过一个
中心模型
。这个序列中存在对称性。这就是所谓的“四耳中心模型”。我提前说一下。但是，就像球体可以有多种多面体表示一样，这些变换的各个步骤也可以有。你在我首页上看到的旋转物体是球体翻转中心模型的多面体版本，这是我大约十年前发明的。这些多面体模型的好处是，可以用平面表面来构建。甚至可以按切割方式来排列。请看看下面的图画（顺便感谢我的朋友Christophe Tardy，他提供了正确标注的元素）。
这是一张会以小尺寸打印出来的图画，无法使用。
要在A4纸上打印这张图，
需要在A4厚纸上复印四次，两次用一种颜色，两次用另一种颜色。
这是一个你在这里看到的总体切割图。但为了打印，最好转到
切割
页面。打印它。然后，使用你打印机上普通纸张打印的副本，去复印店，复制四份相同的图画，
两次用绿色卡纸，
两次用黄色卡纸。然后，通过这个切割，你可以构建球体翻转中心模型。
在这些切割的元素上，有成对的字母：a、b、c、d、e、f等。你只需要将相同的字母对齐折叠，然后用透明胶带将这些面粘合在一起。接下来的图画显示了如何组装这四个元素中的一个。首先，这是如何开始折叠这四个元素之一的：
这是两个这样的元素，从不同的角度观看。
然后，它们组合成一个具有四重对称性的物体，或者交替使用绿色和黄色的元素。要以3D方式查看，请查看Tardy先生的“虚拟现实”作品。这个完全组装好的中心模型也以“vrml”格式在此部分中提供。这是从不同角度看到的物体：
不能说一个视图对应“上面”，另一个对应“下面”，因为这些名称完全是任意的。在左边的视图中，“中心”点对应于Morin中心模型的“双点”（两条表面交叉的点），而右边的中心点对应于该模型的“四点”（四条表面交叉的点）。我仔细地调整了物体的方向，以确保左边的图不会让人联想到一个“卐”字。否则，从建筑学的角度来看，这种Morin中心模型的多面体表示可能成为一个很好的国家社会主义文化之家的项目。
最后的视图：
最后一点说明：不存在一种“好的”球体翻转（即立方体翻转）的多面体表示。所谓“好的”，是指一系列足够清晰的模型，可以相对容易地通过切割方式组装，就像上面的模型一样。在这方面，需要进行一些研究，这可能对任何人，甚至非数学家或艺术家来说都是可行的。二十多年前，我在普罗旺斯艾克斯美术学院教雕塑，当时该学院仍由我优秀的朋友雅克·布利耶（Jacques Boullier）领导。正是在这些场所，首次用椭圆展示了博伊表面的南方表示，这是阿佩里首次建立隐式方程的关键。我必须说，当时我总是惊讶于艺术学生的几何想象力，这常常远远超过……几何学家的想象力。
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