球面反转
8
12月
2004
第2页
将克莱因瓶的两个尖点进行交换
这将是一个小小的插曲，以“球面反转有什么用？”为主题。这里，它被用来交换克莱因瓶的两个尖点，这在最初看来似乎是不可能的。这个小技巧是我大约十多年前发明的，从未发表过。但这类内容该发表在哪里呢？实在难以确定。它并非数学上的重大成果，但确实是一个相当吸引人的练习。接下来，我们将使用多面体表示法。右边是“圆润”的克莱因瓶，左边是其多种可能的多面体表示之一。
克莱因瓶及其多种多面体表示之一。
在右下方的图中，我们巧妙地将两个位于自交线末端的尖点C1和C2安置在可视为球面一部分的位置。我们知道，球面可以被反转，因此我们可以对这个物体施加同样的反转操作，而无需关心变换过程中的各个阶段。在多面体表示中，这相当于将立方体进行反转。
我们所知道的是，操作完成后，会出现两种内陷形态，这正是一个位于“克莱因瓶内部”的观察者所看到的样子（尽管这种说法并不准确，因为该曲面是单侧的）。
反转后，左侧的立方体，右侧的球体
多面体表示法在追踪这些操作时确实非常方便。最后，只需将两个手指插入这些内陷处，将整个结构向外拉：
将尖点C2拉到外部
如果觉得有趣，你可以用纸板制作这些多面体模型。或者，也许有勇敢的人能用VRML制作这些模型，以便我们能够交互操作。
最后，完成整个操作。
回到初始的浸入状态，但两个尖点已互换。
我曾承诺过，有一天要写一个文件，讲述我与精神分析学家雅克·拉康的交往经历。他曾用克莱因瓶来建模“基本幻想”。他专注于“中心尖点”，而简单地忽略了第二个尖点。在这一中心区域，拉康将“语言之阳具”或“小a对象”定位于此。其余部分我以后再讲。但无论如何，拉康并未预料到这两个尖点可以“互换”。事实上，当他向我讲述这种语言学-几何学-精神分析学的建模时，我皱了皱眉，想象着在这克莱因瓶中，两个尖点可能扮演不同角色；而在下一瞬间，仅仅通过提出问题，我就找到了交换它们的方法。我记得拉康对此感到相当震惊。他的基本幻想中出现了两个语言之阳具，而非一个。他整个理论体系都是围绕这一对象构建的。但我立即为他提供了一个替代方案：将语言之阳具置于博伊曲面（Boy's surface）唯一的极点上。这样一来，一切又恢复了秩序，令他非常满意。
这一事件发生在拉康去世前不久。据我所知，这种精神分析学-几何学的重新部署，至今似乎尚未在拉康学派精神分析家群体中传播开来。
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