球面翻转
8
12月
2004
第4页
伯纳德·莫林的版本
下载1979年B.莫林与J.P.佩蒂特发表于《科学美国人》杂志的论文PDF版本
球面翻转
（2.8 MB）
我们从一个外侧为灰色、内侧为粉色的球面开始。
将两极靠近接触。随后，曲面相互穿插，形成一种“肘部灾难”。此时产生了一条闭合的自交曲线。
在下方右侧，通过三个半切面，可以更清楚地理解所形成的结构。此时球面看起来像一个圆形的“充气艇”，带有“管状”和“双层底板”。
第一步：一次“肘部灾难”。形成一条闭合的自交曲线。
第二次操作：再次发生“肘部灾难”，形成第二条闭合的自交曲线。
第二次形成闭合的自交曲线。
为此，“充气艇”发生了折叠，并伴随扭转运动，使得“管状”上相对的两部分得以接触。
下一张图是经过两次灾难性变化后形成的“橘子瓣”结构。
在形成两条“橘子瓣”之后
左侧对模型进行了切割。中间展示了两个圆柱形结构如何相互穿插，其局部截面呈现出希腊字母“γ”的形状。
我们记得，“橘子瓣”灾难是通过两个形成二面角的平面切割一根“圆木”而实现的。
每个截面呈“γ”形的圆柱结构，同时包含圆弧部分和二面角部分。请仔细观察图i。
在j中，我们画出了全部自交结构。其中最大的闭合曲线段来自第一次“肘部灾难”，它将球面转变为“充气艇”。
在形成两条“橘子瓣”后，我们得到一个更复杂的结构，而j是其子集。
在j中可以看到，该结构可被比作两个“橘子瓣”连接在四面体的两条非相邻棱上。
当有一天我能制作出动画时，这一切将变得容易理解得多。从技术上讲，这对我来说毫无困难，只是时间问题。
很少有人不仅能“在空间中看见”，即读懂由线条、虚线、颜色、阴影和反光构成的编码，还能在脑海中想象出动态变化过程。
我希望有朝一日能完成所有这些工作。顺便提一句，我们可以使用多面体模型，就像我之前展示如何将Crosscap变换为Boy曲面那样。
这才是未来方向。但这些模型需要我们自己去发明。
在后文，我们将看到由伯纳德·莫林（他是一位盲人！）构想的球面翻转核心模型的优化多面体版本，以及如何通过裁剪自行制作。
为什么我没有把这项工作推进得更远？
我会说：因为缺乏“出路”。没有数学期刊愿意发表这类成果。
1975至1978年间，我们只能通过《巴黎科学院报告》发表几篇短文，这些文章可能并未被广泛阅读。
但那是因为院士安德烈·利希诺维奇对这些工作非常关注。如今他已去世。
由于这些工作早在1975年就已完全完成，本应制作一部基于我手绘图的动画电影。
我曾从事动画创作，完全有能力组织这样的项目。但当时在CNRS无法获得资金支持。
最终，美国数学家内尔森·麦克斯在参考了同事查尔斯·普ugh制作的模型（即这一球面翻转版本的模型）后，利用一台强大的计算机，成功制作出了第一部动画电影。
但这并非第一次，也绝非最后一次：法国人付出了巨大努力，却得不到任何回应，最终被组织更完善、支持更充分的外国同行抢先一步。
现在进入第三阶段，也是最难理解的阶段。
准备两次“裤子灾难”
在图k中，可以清楚地看到“裤子”的两个“裤腿”，其细节在前方k'中展示。白色箭头表示“穿过裆部”的路径。
这一变化确实难以理解。我添加了图m，以帮助更清晰地说明。在图l中，我用虚线表示了自交曲线，其完整形态见图l'。
其中一条路径（即白色箭头所指路径）将闭合。这一闭合动作伴随着曲线上两处的上升。
这两段曲线将分别与“橘子瓣”上的某条线接触。当接触发生时，手术便完成了。
难点在于，当你在前一页看到四个基本灾难后，必须能够从各个角度想象它们，甚至需要扭动脖子来观察。
在图n中，我们标出了手术发生的“关键时刻”（即变换的“中点状态”），此时曲线的连接方式将发生变化。
我们知道，“裤子灾难”会关闭一个通道，同时开启另一个通道。
初始通道由白色箭头表示。但若将模型绕垂直轴旋转180度，从同一角度观察，会看到另一个通道。
这两条箭头实际上代表同一条路径。在灾难发生前，仍可在“折叠的充气艇”中通行。
一旦灾难发生，该通道将不再可能。
但与此同时，另外两个通道将被打开。
它们位于何处？涉及空间的哪些部分？
这些通道将“橘子瓣”的内部与外部连通。在图l'中，你已能看到这些“橘子瓣”。
接下来进入下一步。
通道闭合。迈向双重临界状态
在图e n o中，我们展示了两次“裤子灾难”在两个不同阶段的情形。
其中一个通道已完全闭合。此时处于临界状态，即将发生曲线连接方式的改变。
在右侧（图o'的细节），通道正处于闭合过程中。
因此，图o"中自交曲线的形态在左右两侧有所不同。
在图p、p'和p"中，两侧均达到了临界状态（即变换的“中点”状态）。
在下一页的图中，手术已生效。
图p"中开始出现的管道，将“橘子瓣”与外部连通，现在已完全形成：
两次“裤子灾难”已生效。通道（白色箭头）已打开。
现在，事情将继续……