环面的翻转
2004年12月9日
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这些研究的一个副产品：环面的平凡翻转
如果将一个球面翻转如此复杂，那么从这个出发点来看，翻转一个环面却极其简单，甚至十岁的孩子都能做到。毕竟，环面不过是一个带有一个把手的球面。我们只需像处理克莱因瓶的两个尖点那样进行操作，即不加思索地将球面翻转过来。这时，把手就移到了内部。可以说，这个“桥梁”变成了“地下通道”。然而，所有市政工程人员都知道，任何道路网络中的地下通道，都可以通过一个正规同伦变换为一个点。
当球面完成翻转后，只需将手指伸入这个通道，用力一拉即可。参见下图。
环面的平凡翻转
虽然在这幅图中不太明显，但我们已标出环面的一个生成圆周（a），这些圆周属于能够无网格奇点地对环面进行地图绘制的两组圆周之一（参见《拓扑奇观》）。当把手被集中到带把手的球面的一个区域（b）时，该曲线仍然可见。当带把手的球面被翻转后（c），操作者将手指伸入通道，此时这条曲线便环绕着手指。当他“抽出”把手时（d），我们看到（最终图像e，即翻转后的环面）这个圆周已变成了曲面的“喉部圆周”。因此，当我们从一个由子午线圆周和纬线圆周构成的双重圆周网格绘制的环面出发（喉部圆周属于第二组圆周），就会发现翻转操作将这两组圆周互换了。这显得有些神奇，我必须承认，这已超出我个人的理解能力。每个人都要学会认识自己的局限。我个人认为，某些思维过程，大脑应该配备一个保险丝。
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