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天体的示意图（恒星、行星、密集的蛋）
** **像太阳这样的恒星是一个质量的集中体。周围是真空，或者说是“几乎空无一物”的空间，因为它包含非常稀薄的气体和光子。在二维中，相应的示意图是一个钝角（posi）圆锥体：
(18)
你可以用两个组件来制作它。一个球体的一部分和一个（posi）圆锥体的一部分，粘合在一起。球体的一部分是一个曲率恒定的表面。圆锥体的一部分是一个平面，一个局部曲率为零的表面。最后一个例子是一个欧几里得表面。球体的一部分是一个非欧几里得表面（一个黎曼表面）。
这是由真空包围的恒定密度物体的二维示意图。
如何将这两个部分固定在一起，以确保切平面的连续性？很简单。你的圆锥体部分来自一个圆锥体，其截面对应于一个角度q。你的球体部分应该由基本的小圆锥体（posi）组成，以便包含一定量的“角度曲率”q。如果两个角度相等，切平面就会是连续的。
但是如何测量球体某一部分所包含的曲率数量？
总曲率。
我们可以用基本的posicones来构建一个表面。我们可以安排它以获得一个曲率密度恒定的表面。那么我们知道这个表面是球体的一部分。如果我们不断增加基本的（posi）圆锥体，这个球体将变得完整。它包含一定量的角度曲率。所有的球体都包含相同的曲率。乒乓球的总角度曲率和地球的总角度曲率是相等的，尽管它们的重量相差很大。
顺便说一下，蛋的总曲率也是一样的，因为它们具有相同的拓扑结构。原则上，母鸡产的蛋具有球形拓扑。我个人从未见过具有环面拓扑的蛋。那可能是一种没有头和尾的奇怪蛇，或者类似的东西。
回到乒乓球和普通球体。如果这个表面具有恒定的局部角度密度，这意味着角度曲率的数量（即基本角度Dq的总和）将与面积成正比。见图19。这个面积可以被任何边界限制。但我们可以使用球体的测地线。设S为球体的面积，s为三角形内部的灰色区域。
(19)
在上面，我们看到，对于在表面上绘制的三角形，相对于欧几里得总和（180°）的正偏差，取决于内部的圆锥顶点数量。总和是180°加上所有对应于这些封闭顶点的角度。
反过来，如果我测量相对于欧几里得总和的偏差，我可以测量三角形内部所包含的曲率数量。
球体的测地线称为球体的大圆。见图（20）。经线、赤道都是球体的大圆。
(20)
我们可以将球体切成八块面积相等的部分。见图（21）。我们得到八个每个角都是90°的三角形。相对于欧几里得总和的偏差就是90°。每个这样的三角形包含90°的角度曲率。因此，球体的总曲率，即总角度曲率是8 × 90° = 720° = 4π。
(21)
每个灰色三角形包含π/2。
你喜欢曲面、黎曼曲面几何吗？
如果我们回到我们之前的钝角圆锥体，我们会看到角度曲率被包含在圆形边缘内，即在曲率密度恒定的区域。圆锥体的侧面，墙，不是一个有限的表面。如果你想，你可以无限延伸它。角度曲率的数量不依赖于边缘的周长，也不依赖于球体部分的面积。这个部分可以被缩小。见图（22）。即使缩小到一个点，它仍然包含相同的角度曲率。这就是为什么我们说一个圆锥点是一个集中曲率的点。反过来，我们也可以用一组圆锥点来构建平滑的表面。
物质由原子构成。原子可以被视为点状物体。它们是三维空间中的“集中曲率点”。
你呼吸的空气是一个密度恒定的介质。它由分子、原子组成。它是一组集中曲率点，通过欧几里得空间的部分连接。你将其视为一个具有恒定曲率的介质。
下次你呼吸时，想想这个。
(22)