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共轭几何。****
我们现在可以将一个钝角正圆锥和一个钝角负圆锥相对应。面对面：一个球面的一部分和一个马鞍形，具有相反的角曲率 + q 和 - q。我们有对应点（单射映射）。在图（39）中，表示了一对共轭点。
我们称两个几何结构为“共轭几何”，它们之间存在点对点的联系，使得局部曲率密度相反。球面的一部分和相应的马鞍形就是这种情况。同样适用于正圆锥的一部分与负圆锥的一部分。它们的局部角曲率密度为零。（39）
在褶皱 F 中，正曲率完全包含在球面的一部分中。正圆锥的一部分是一个欧几里得表面，它是“局部平坦”的。在另一个褶皱 F*，即共轭褶皱中，所有的（负）角曲率都包含在马鞍形中。在外部，负圆锥的一部分是“局部平坦”的，它不包含任何曲率。
请注意，给定一个褶皱，我们可以构造另一个。
广义相对论。
基本思想是，局部的“物质-能量”内容决定了局部几何，它塑造了时空超曲面。请注意，“物质-能量”这个词，表明任何内容都决定了宇宙的几何：物质和辐射。在前面的章节中，我们提到过光子对（正）曲率的贡献。今天，宇宙背景的贡献可以忽略不计。物质对几何的贡献是主导的。但在遥远的过去，情况正好相反：在标准模型中，当 t < 500,000 年时。
让我们寻找一个教学模型，以理解广义相对论的基本概念。我们处理稳态系统。考虑一个平面表面，没有任何内部应力。如果我们引入局部应力，就可以改变其几何结构。我们可以引入正应力或负应力（应力张量）。例如，如果我加热一个塑料薄膜，我会产生一个凸起（正曲率效应）。
我也可以将材料浸入一种产品中，当干燥后会导致局部拉伸（负曲率效应）。
锅炉工知道如何利用加热和冷却来塑造金属表面，例如一个发生事故的罐子。
取一个简单的金属管。让我们加热一侧，冷却另一侧。会发生什么？
（40）
应力会使管子弯曲，如图（41）所示。
（41）
我们在金属中引入了应力。这就是数学、材料力学和几何学中“张量”一词的来源。材料力学专家会谈论“应力张量”。几何学家会提到“曲率张量”。广义相对论专家会应用基本原理：
局部物质-能量内容 <-------> 局部几何
当然，这种局部物质-能量内容决定了四维超曲面的局部几何。但想法是相似的。
如何表达这一点？使用数学家所说的“张量”。
如果不开发完整的“微分几何”课程，很难进一步深入。爱因斯坦著名的方程是：（42）
**S **= c T
c 是一个简单的常数（称为爱因斯坦常数）。它取决于另外两个常数的值：
-
光速 c。
-
引力常数 G。
通过：
（42bis）
S 是一个几何张量，负责几何特征。
T 是另一个张量，描述宇宙的局部内容。在这个张量中，您将找到物质密度 r 和压力 p。它们以能量密度表示。r c² 是一个能量密度
但 p 也是一个能量密度。通常，压力以帕斯卡每平方米表示。但帕斯卡每平方米也等于焦耳每立方米。压力本质上是体积能量密度。场
r (x,y,z) 和 p (x,y,z)
对于稳态系统，是问题的输入。从这些标量场，我们可以构建张量 T。然后问题变为：
- 什么样的几何对应于这样的张量场 T (x,y,z)，满足方程（42）？
给定宇宙的局部内容，理论家必须构建时空超曲面的局部几何。但有什么用呢？
这里使用了第二个基本假设：
- 构成我们宇宙的所有物体都遵循时空超曲面的测地线。
一个物体可以是一颗恒星、一颗行星、一个原子、一个光子或一个基本粒子。
粒子是否来自场方程？完全不是。广义相对论完全忽略了它们。对于广义相对论专家来说，宇宙是一个连续体，仅此而已。输入函数 r 和 p 对应于宇宙的宏观描述。输出也是如此：测地线系统。对于广义相对论理论家来说，宇宙是一个超曲面，仅此而已。他说：
- 你给了我函数 r (x,y,z) 和 p (x,y,z)。我为你构建了合适的超曲面，它满足场方程。我确定了所有可能的路径：测地线系统。但我完全无法为你构建粒子。抱歉。请去其他部门。
总之：广义相对论与基本粒子世界之间的桥梁仍在等待建造者。
但天文学家会说：
- 谁在乎呢？光子被假定遵循这个超曲面的特殊测地线。这有效：我可以用光学设备观察现象。行星也被假定遵循另一种类型的测地线。这也有效。我可以计算它们的轨迹，预测水星近日点的进动。还有引力透镜效应。
他说得对。
关于这个引力效应，说几句。首先，这个钝角圆锥的图像只是一个简单的教学图像。例如，它不能描述行星围绕恒星的圆形轨迹：（43）
这仅仅显示了教学图像的局限性。但我们可以用这个例子来说明引力透镜效应，使用两条测地线：
（44）
下面是空间的直观欧几里得表示。存在一种幻象。观察者看到的不是单一物体，而是两个“引力幻象”。