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相反，在表面上存在真实的内在奇点。这些是真正的几何奇点：
(55)
(56)
(57)
依此类推……
此外，折痕是表面上的一个特殊区域，其中线曲率被集中。在图(57)中，左边是负的线曲率，右边是正的线曲率。
在每个子图中，我们使用了两个球面部分。整体物体具有与球体相同的拓扑结构，这意味着其总角曲率为 $4\pi$。
假设左边的物体是由两个球面部分构成的，每个部分含有 $3\pi$ 的角曲率：
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
这太多了。因此，必须用负的线曲率来抵消，以得到最终所需的 $4\pi$ 值：
总之，我们的折痕包含的负曲率为：
$$
-2\pi
$$
这种曲率沿折痕的圆形曲线均匀分布。
回到图(57)，我们绘制了由测地线构成的三角形。但你可以用一条窄胶带轻松地穿过折痕。你知道如何计算并预测三角形三个角的和。你只需将三角形的面积与球体的面积进行比较。曲率的过剩为：
$$
\text{(58)}
$$
但你必须考虑折痕部分（即弧 $mn$）中包含的曲率（负或正）。该曲率值为：
$$
\text{(59)}
$$
假设图(57)右侧有一种类似透镜的结构，由两个球面部分构成，每个部分含有 $\pi$ 的角曲率。因此，如果不考虑折痕，这两个球面部分的总角曲率为 $2\pi$。然而，这个透镜具有球形拓扑结构，因此角曲率的贡献必须为 $2\pi$。因此：
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(球体的总曲率)}
$$
你也可以预测由三条测地线构成的这种奇怪三角形的三个角的和。弧 $mn$ 包含的线性角曲率为：
$$
\text{(60)}
$$
当测量折痕内三角形中所包含的角曲率时，可以计算出与欧几里得和 $\pi$ 的偏差。
因此，你可以相对容易地处理这些表面上的曲率问题。
一个表面可能有锥形点或折痕线。这些是内在奇点，而不是由于坐标选择而产生的虚假奇点。请注意，我们可以将折痕平滑处理，从而得到一个类似花生的形状：
$$
\text{(61)}
$$
这相当于将圆锥的尖点（集中角曲率）平滑处理，使物体变成一个钝角圆锥（角曲率分布在球体的一部分上）。
假设图(61)中上面的两个球面部分各代表 $2/3$ 个球体，即曲率：
$$
\text{(62)}
$$
“花生”中的灰色部分包含负曲率，具体为：
$$
\text{(63)}
$$