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代表空间。
我们在前面的部分中看到，圆柱体可以被压平。现在，拿一张纸，一张平面纸。这是一个欧几里得表面。你可以在上面画测地线。现在把它揉皱。（64）
如果你能让这张揉皱的表面变硬，并用胶带在上面画测地线，你又会得到同样的系统！表面并没有真正改变。如果一个居民生活在这种“平地”中，他可能无法意识到揉皱的过程。对他来说一切都会正常，就像现在一样：遵循他二维时空表面的测地线，例如。
揉皱纸张，你只是改变了代表系统，即二维表面在三维欧几里得空间中的嵌入方式。
一个更简单的改变是将一块平金属板变成波浪形表面。见图（65）（65）
多年前，我在埃塞俄比亚的亚的斯亚贝巴的一个大市场里。在那里，金属很稀有。你可以在一些工厂里看到年轻男子用简单的锤子将波浪形的铁板变成平板。如果其中一人在操作前画了一条测地线，我们会发现测地线系统保持不变。
但说实话，我不确定这种人是否真的知道测地线是什么，当然从数学角度来看。任何制作篮子的人都会自然地使用测地线。
我记得我曾在佛蒙特州伯灵顿和尚普兰湖附近的一个夏令营里教编织篮子……那是很多年前的事了。
请记住，几何对象有其自身的存在和属性，与你在更高维空间中如何表示它们无关。无论是否揉皱，一张纸仍是一张纸，即一个欧几里得表面。
我们被期望生活在四维超面上。我们所有人原则上都以同样的方式生活。但我的妻子克莱尔，一个非常迷人的女人，坚信我生活在更高维的空间（她认为是五维）。这有时会导致我在我的个人第五维度中时沟通困难。
但女性真的生活在四维超面上吗？有时我对此表示怀疑，但这又是另一个问题。
假设你生活在四维超面上，并遵循这个时空的测地线，就像牛跟随犁沟一样。
现在假设你是上帝。你想完整地表示这个四维超面。那么你需要至少一个额外的维度。我个人认为，如果上帝存在，他必须生活在十维的超世界中。以下的论点将在《几何物理B》中展开，并来自群论。
上帝是否拥有群结构？
实际上，广义相对论专家计算一个场方程的解（爱因斯坦的解）。然后他研究测地线系统。它们是“四维直线”。在时空中，当你沿着测地线走时，一般顺序是：
- 直走！不要左右转。
你只是因为无法做其他事情而服从。在时空中转弯是荒谬的。一切，每个人“都直走”。
但事物、轨迹、路径在我们三维的眼睛看来是弯曲的。我们在“我们对空间的心理表示”中读取这些。我们面对柏拉图洞穴的墙，看着三维的舞动阴影。
让我们回到我们二维的教具图像，即钝锥。它应该代表质量集中区域（灰色区域）的时空。我们假设它对应于稳态。
我们可以使用球坐标（r，q，j）作为空间标记（在三维中）。在二维中，我们只有两个坐标：（r，q）。
然后我们可以将图像投影到平面上，并使用相同的极坐标集。见下图。
（66）
如上所述，钝锥的表面是一个粗糙的教具模型，暗示了爱因斯坦场方程的一个特殊解
（67） S = c T
由施瓦茨希尔德于1917年构建。这是一项杰出而巧妙的工作。只需说，当时爱因斯坦并不是一个孤独的天才，被困在荒岛上。许多人认为伟大的德国数学家希尔伯特发明了“爱因斯坦方程”。其他人则认为爱因斯坦夫人可能在构建狭义相对论方面做出了有效贡献，这自然源于庞加莱和洛伦兹的工作（如果你看看爱因斯坦的作品，你会发现他很少提到其他人）。
施瓦茨希尔德的解是广义相对论的里程碑。我们用它来计算行星绕太阳的相对论轨迹，揭示水星近日点的进动。
每个人都会立即说：
- 为什么施瓦茨希尔德没有自己计算这个？
有一个非常充分的原因：他死了。
施瓦茨希尔德是一个爱国者，他坚持在1917年前往前线。在那里他被毒气袭击，后来去世。爱因斯坦继续工作，这变成了“爱因斯坦理论”。
这是一个稳态解。后来，爱因斯坦试图构建一个宇宙模型，其中曲率可以被识别为能量-物质密度。但当时没有人知道宇宙不是稳态的。爱因斯坦试图构建一个稳态模型，但事情并不顺利。然后他拜访了法国伟大的数学家埃利·嘉当，后者建议他在场方程中添加一个常数，爱因斯坦照做了。
然后，一名俄罗斯滑翔机飞行员弗里德曼发明了一个非稳态解。大约在同一时期，埃德温·哈勃发现了红移和宇宙的非稳态特征。爱因斯坦非常失望，并说：
- 如果我知道宇宙不是稳态的，我就会在弗里德曼之前找到这个解！
正如斯巴达人过去常说的。
但这个故事并没有就此结束。最初，弗里德曼构建了循环解，这是“弗里德曼模型”中的三个之一。
爱因斯坦沉默了好几年。然后，在弗里德曼去世后，他发表了“爱因斯坦-德西特模型”，“弗里德曼的抛物线解”。
后来，一位名叫卡鲁扎的波兰年轻研究员向“爱因斯坦教授”提交了一篇论文，被拒绝了一年多。卡鲁扎向爱因斯坦投诉，爱因斯坦回复说：
- 你应该更仔细地看看这个理论。我持怀疑态度……
多年后，卡鲁扎的想法（在时空中增加第五维）成为高级著作的起点（包括超弦方法）。见《几何物理B》。
好吧，爱因斯坦并不是那么运动。
回到对应于太阳周围时空几何的三维稳态模型。计算给出位于平面中的测地线。如果曲率效应适中，且速度相对于光速c较小，它们在代表性的欧几里得时空中的投影对应于准开普勒轨道和开普勒定律。我们可以忽略时间，并使用极坐标在平面上表示这些测地线。
r = f (q).
在施瓦茨希尔德解中，实际上存在两个相关的“度规解”，如图（68）所示。在“大质量物体”内部，质量密度r被认为是恒定的。在那里，能量-物质张量T是非零的。但在外部，r和T都是零。
（68）
这是一种复合几何。在三维中，质量密度在“质量集中”的表面（假设为球形）上出现突然的不连续。这类似于在表面（灰色区域中非零，外部为零）上的角曲率密度的不连续。边界变成一个S1球，即一个……圆。
在四维中，可以建立数学连接，以确保测地线的连续性。这类似于球体的一部分或一个圆锥体的一部分的连接部分。
当质量变得重要时（这不能用我们粗糙的二维教具模型来描述），封闭路径不再呈椭圆形。
见图（69）。这张图对应于航天器围绕中子星的轨迹。
水星绕太阳的轨迹类似，但椭圆轨迹的近日点进动为每世纪0.15度。
（69）
有一天，我们会包括用于解决这个问题的公式和程序。这并不难。
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