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几何背景。****
一个球体是一个二维的几何物体。我们需要两个量，两个数字，两个标量，来定位其上的一个点。
球体是一个具有拓扑结构的表面。它的拓扑结构与环面不同。
两者都有测地系统。如前一节所述，我们可以想象球体上的两个不同点M1和M2，以及连接这两个点的曲线。然后我们可以沿着这条特定路径测量长度。这是一种坐标不变的量。S²球体独立于任何三维表示空间存在。但我们可以在我们熟悉的三维欧几里得空间中表示它，我们被假定生活在这个空间中。然后我们可以给这个球体一个中心，并将所有点连接到这个中心。见图（116）。每个点对应两个角度：q和j。
(116)
我们在球体上打了一个洞，以显示向量OM，其中O是中心，M是球体上的一个点。
现在，图（117）保留了向量，但忘记了球体。
(117)
这些半直线是无限的，但我们将其截断为一个特定的长度，对应于我们球体的半径R。每条直线对应一个（q，j）对。度量结构已经消失。没有测地线，也没有长度。还剩下什么？
这些半直线都有邻近的直线，构成其邻域。每条半直线可以想象成被一系列圆锥（图（118））包围。
(118)
在任何一条直线上，我们可以放置任意数量的圆锥。在两个圆锥之间，我们总能插入另一个圆锥。这直观地暗示了“可微性”的概念。在这样的几何物体中，没有任何不连续性。
现在，忘记球体，取一个平面。它是一组点。无论我选择哪种坐标系，我都可以用两个量来定义这些点：(x,y)，(r,q)等。
一对实数。这些数是从R²中选取的，即实数集合，例如（3.8705，-17.56）。
任何一对实数（x；y）都有无限多个邻近点（x + Dx；y + Dy）。
这些“前度量”对象被数学家称为“流形”。
很难想象这样一个“柔软”的介质。在图（119）中，我们描绘了一个刚性的平面表面，具有度量性质，而在其下方是它的点的投影。
(119)
投影没有自己的形状或范围。它取决于屏幕和光线的产生。在图（120）中，我们暗示了投影相对于物体的相对性。
(120)
这些“平行线”类似于我们用来将球体上的点连接到其中心的光线。在这里，平面的点被“连接”到一个位于无限远处的“光源”。
放弃这种直线的想法。考虑一束煮熟的意大利面（如果没煮熟，它们应该是坚硬且易碎的）。我们可以弯曲它们。但我们要求意大利面保持连接在一起。它们的邻域不能被改变。
(121)
这一切都很粗糙，我知道，而且并不完全严谨。我只是想向读者暗示什么是流形，一个没有度量的几何对象，其主要特性是每个点都有邻近点。
流形是一个点的集合m。我可以想象，我将流形上的每个点与属于真实表面的两个点（M1，M2）关联起来，这些表面具有度量性质、长度等。
我将n维流形称为“骨架流形”，而与之相关的n维表面则称为“褶皱”。然后我构建“流形的双褶皱覆盖”。
在图（122）中，是二维流形m2的双褶皱覆盖。
(122)
在图（122）中，我描绘了相同、平行的欧几里得褶皱（平面），具有相同的度量。但我可以构建图（123）：
我们将M和M称为共轭点。从“骨架流形”构建这两个褶皱有明确的意义：对于褶皱F上的任意点M，我们可以唯一地关联一个共轭点M。存在一个点对点的映射。然后我们可以忘记骨架流形。
对于褶皱F上任意点的邻域，对应于其共轭点M的邻域。见图（124）。这意味着，对于F上的任意规则区域，对应于F中的一个共轭规则区域。
(124)
这表明，共轭点M和M*由相同的坐标集描述。