a123
| 24 |
|---|
共轭曲率。****
如何理解具有局部正曲率或负曲率的三维空间？
从二维表面开始。考虑一个球体，并在球体上的某一点固定一个钉子，如图（125）所示。固定一根长度为L的绳子，将钉子和一支铅笔连接起来。我们可以用它来画一个圆，即球体的“纬线”。球体的纬线是距离给定点S相同距离L的所有点的集合。
我们可以进行类似的操作（图（125））：
- 在马鞍面上
- 在平面上。
（125）
在平面上，周长是2πL，而圆盘的面积是πL²。
在球体上，圆盘的周长和面积都较小。相反，在马鞍面上，它们则较大。
考虑一个球体和一个与其赤道对应的纬线。见图（126）。数值对应于图（126）。
（126）
圆盘的面积是球体相应（灰色）部分的3.875倍。其周长比赤道的长度长1.57倍。
类似的测试将显示马鞍面的负曲率。如果我们在一个马鞍面上画一条闭合曲线，即距离给定点相同距离L的所有点的集合，那么这个负曲率圆盘的面积将大于平面上圆盘的面积πL²。同样，这个负曲率圆盘的周长也将大于平面上圆盘的周长：2πL。
几何学是一门为盲人准备的科学。几何学家试图设计一些测试，让某个空间的居民可以进行这些测试，从而自己发现该空间的几何性质。从前面的图中可以看出，二维表面的居民无法从外部观察该表面（因为他们生活在其中），但可以通过面积和长度的测量，发现他们所居住的表面是否具有正的局部曲率、负的局部曲率，或者零的局部曲率（欧几里得空间）。
请注意，有些表面的局部曲率可以是正的、零的或负的。例如，一个环面。
（126ter）
类似的方法也适用于三维空间。选择一个点O，任意位置。拿一根绳子，一支“铅笔”，用它来画出距离该点给定距离L的所有点。你会得到一个球体，并可以测量它的面积。如果这个表面是在三维欧几里得空间中构建的，那么它的面积将是：4πL²。
如果发现这个面积更小，这意味着这个三维空间不是欧几里得空间。它是一个具有正曲率的黎曼三维空间。如果我们测量体积，我们会发现它比：
（127）
更小。
如果处理的是一个具有负曲率的三维空间，情况将相反。球体的面积（即距离固定点O给定距离L的所有点的集合）将大于4πL²。该封闭表面内部的体积将大于（127）。
宇宙学并不是基于简单的三维空间，而是基于四维超曲面（具有“双曲度量”），因此这种介绍是有限的。我们必须将其视为一个粗略的教学模型。
n维空间的黎曼标量曲率略有不同。
在我们当前的宇宙模型中，我们假设共轭点（M, M）处的局部黎曼标量曲率是相反的：
*（127bis）
R* = - R
专家可在以下文章中找到更多细节：
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, March 1998.
接下来，一个有用的二维教学图像，对应于图39。
（128）
顶部：一个平滑的正圆锥。正圆锥部分的局部（角度）曲率为零。球体（灰色）部分的正（角度）曲率密度恒定。
底部：一个“平滑的负圆锥”。负圆锥围绕马鞍面部分的局部（角度）曲率密度为零。马鞍面部分的负（角度）曲率密度恒定，与球体部分相对。
曲率是共轭的。面对面，点对点对应，正圆锥和负圆锥的局部零曲率部分。
面对面，点对点对应，一个具有恒定正曲率的表面（球体的一部分）和一个具有负曲率的表面（马鞍面）。曲率密度相等且相反。圆形边缘点对点连接。
这是我们的宇宙模型的教学图像。更多数学细节，请参见：
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, March 1998.