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由幽灵物质引起的几何结构。****
在上一节中，我们研究了由于在褶皱F中存在一个常密度的正质量M而产生的共轭几何结构。现在假设在褶皱F中存在一个（常密度r > 0）正质量M*>0。我们假设在这个宇宙部分中，F的共轭区域是空的。
那么T描述了F中非空部分的能量-物质内容。相应的场方程组是：
S = - c T*
S* =** *c T
几何结构简单地相互转换：
(135)
查看图（135），我们看到位于褶皱F中的质量M吸引幽灵质量，这些质量沿着这个孪生褶皱的测地线运动，并排斥正常质量，沿着褶皱F的测地线运动。
查看图（135），我们看到褶皱F获得了一种由其褶皱F中存在幽灵质量M而引起的诱导几何结构。
相互作用定律。
从（128）和（135）中，我们可以推导出相互作用定律：
-
物质吸引物质
-
幽灵物质吸引幽灵物质。
-
物质和幽灵物质相互排斥。
另见：
J.P.Petit & P.Midy : 幽灵物质-物质天体物理学。1.几何框架。物质时代和牛顿近似。几何物理A，4，1998年3月。
在本文中，我们还表明，相互作用力是牛顿的。
我们看到这与J.M. Souriau提出的方案不同，在该方案中，第二种粒子相互排斥。
在我们的方案中，我们看到所有的质量m和m*都是正的。但诱导几何现象允许在某些点上产生局部负曲率，这在经典广义相对论中是被禁止的。
总结来说，我们可以写出场方程组：
(136) **S = *c (T - T)
(137) S* =** *c (T - T) ** ** 这给出了相反的标量黎曼曲率：
(138)
R = - R* ****
如果在褶皱F中局部曲率是正的，这意味着：
(139) T > T*
或者：
r > r *
那么在F*的相邻部分，共轭曲率是负的。
相反，如果在褶皱F中局部曲率是负的，这意味着：
(140) T < T*
或者：r < r *
那么在褶皱F*中它是正的。
如果在褶皱F中局部曲率是零，这意味着在孪生褶皱F*的相邻部分曲率也是零。
此外，T = T* = 0 或者：r = r * = 0 T = T* ( r = r *)
关于经典广义相对论的测试。
物质和幽灵物质相互排斥。一个星系是物质的集中。那么在孪生空间F的相邻部分极其稀薄，因为质量m被排斥了。在太阳附近，幽灵物质的密度（r* 或 T）可以忽略不计。此时场方程组简化为：
(141)
(141 bis )
(141) 是爱因斯坦方程，我们从它构建所有广义相对论的局部经典测试。当幽灵物质密度趋于零时，爱因斯坦方程成为极限情况。