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第一部分关于几何学的结论。
关于几何物理B和群论的几点说明。
(应用于物理的群论元素，可在子网站“几何物理B”的开头部分“物理中的动态群”中找到。)
我们引入了新的几何概念。
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双重几何，最初受到安德烈·萨哈罗夫想法的启发：并非只有一个宇宙，而是有两个，A.萨哈罗夫在1967年称之为“双子宇宙”。
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这两个宇宙并不位于遥远的地方，而是“在同一位置”。我们给出了一个（原始的）教学图像，即跳棋，其中两个游戏分别在黑色和白色棋格上进行。
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这是一个更精细几何结构的教学图像，在这个结构中，整个宇宙由两个不同的（但相互作用的）折叠组成。这些折叠是四维超曲面，可以被视为“骨架流形的双叶覆盖”。
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与广义相对论类似，我们假设粒子沿着每个超曲面的测地线运动。其中一个被假定为我们的时空，另一个被假定为双子时空。
最初，假设有三种粒子沿着每个折叠的测地线运动，它们大致如下：
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物质
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反物质。
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光子。
因此，在第二个折叠中，即第二个宇宙，我们可以称之为“幽灵折叠”或“幽灵宇宙”，我们会发现：
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幽灵物质
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幽灵反物质
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幽灵光子。
（所有这些内容都在“几何物理B：物理中的动态群”中详细解释。）
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这两个折叠是不同的，它们的测地线也是不同的。因此，一个沿着我们折叠F的测地线运动的光子，不能跳转并沿着“幽灵测地线”（属于幽灵宇宙的幽灵折叠F*）运动。因此，我们折叠中的物质（或反物质）发出的光无法到达另一个宇宙，也无法被幽灵粒子接收。如果在折叠F*中存在生命体，它们无法看到我们的恒星、我们的星系，以及我们折叠中的任何东西，纯粹基于几何学。
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相反，一个幽灵光子，由幽灵物质（或幽灵反物质）粒子在幽灵折叠F*（或幽灵宇宙）中发射，沿着该折叠的测地线运动，不能跳转到我们的折叠。因此，它无法被我们宇宙中的任何质量粒子接收或捕获。因此，双子宇宙、影子宇宙或幽灵宇宙的结构，无论我们如何称呼它们，对我们来说基本上是不可见的。 如果在第二个宇宙中存在任何结构，我们无法通过光学手段观察到它们，原因同样是：纯粹基于几何学。
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这个想法与超弦理论提出的观点相近。许多超弦理论界的学者现在确信存在两个世界，它们仅通过引力场进行交流。
Witten（菲尔兹奖得主）、Duff、Green Schwarz、诺贝尔奖得主Abdus Salam……
请参阅Michael Duff最近在《科学美国人》上发表的一篇文章，题为“新的超弦理论”，并翻译成法语（《科学》杂志，1998年4月）。Duff设想物质“在一面墙上”，而不可见物质“在另一面平行的墙上”。
两个宇宙、两个实体，无法相互看见，只能通过引力相互作用的想法，最初由Green、Schwarz和诺贝尔奖得主Abdus Salam提出。
总体思路是扩展维度的数量。在经典物理中，这个数量是四个：（x，y，z，t），对应于时空。现代理论物理倾向于扩展这个数量，通常扩展到十个。
然后一切都基于群论和对称性。对称性不仅仅是二维或三维空间中熟悉的对称性，例如：
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关于一点的对称性。
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关于一个平面的对称性。
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关于一条直线的对称性。
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或旋转对称性（周期性物体、晶体）。
一个在平移后保持不变的物体具有这种“对称性”。
此外，还有时间对称性。考虑一个测试粒子位于质量点M的一定距离r处的运动。
G是引力常数，根据牛顿动力学，运动服从以下微分方程：
（142）
它有一个特殊解：
（143）
这个解是时间可逆的。我们得到了一个时间对称性，即T对称性。
粒子具有一组特殊的对称性。如果要构建支配“事物”的群，这会形成一组强烈的约束。
目前，超弦理论的研究者们面临一个障碍。他们的工具箱提供了太多可能性，以至于他们不再谈论“理论”，而是谈论“理论”。很多人说：“在数百万种可能的理论中……”
与我的同事皮埃尔·米迪一起，我们从不同的角度来处理这个问题，使用了一种称为“群在其动量空间上的共伴作用”的工具。参见让-马里·苏里奥的著作：
《动力系统的结构》，Birkhauser出版社，1997年。
（参见“几何物理B：物理中的动态群”）。
*通过这种工具，可以对质子、中子、电子、光子、中微子及其反粒子等基本粒子进行几何化。但我们不涉及更深层次的结构（夸克）。参见我们的论文：
J.P. Petit和P. Midy：通过群在动量空间上的共伴作用对物质和反物质进行几何化。1：电荷作为群在十维空间上作用时动量的附加标量分量。反物质的几何定义。《几何物理B》，1，1998年。
该论文包含一个反物质的几何定义。
简要地说，在经典时空{ x, y, z, t }之外，我们增加了六个额外的维度，这些额外的维度是：
{ z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆ }
我们可以将这些标量与向量z相关联。同样，我们也可以定义时空向量：
（144）
我们可以认为一个粒子“生活在”一个十维空间中：
（145）
（146）
或者，简单地说：z → - z
这意味着：
z₁ → - z₁
z₂ → - z₂
z₃ → - z₃
z₄ → - z₄
z₅ → - z₅
z₆ → - z₆
所有额外的维度都被反转。
引入额外的维度会改变动态群。参见苏里奥的著作，Birkhauser出版社，1997年。
在非量子相对论物理中，动态群是庞加莱群。通过引入第五个维度z（苏里奥，1964年），将其扩展到量子世界。此外，Kostant-Kirilov-Souriau方法可以利用“庞加莱群的中心扩张”来构建克莱因-戈登方程，即新的动态群。
我们处理的是一个广义扩展的庞加莱群（“皮埃特群”），其在动量空间上的共伴作用给出了六个经典量子数：
q：电荷
cB：重子数
cL：轻子数
cm：缪子数
ct：陶子数
v：旋磁比。
然后，一个粒子由以下集合定义：
{ q, cB, cL, cm, ct, v, E, px, py, pz, s }
E是它的能量
{ px, py, pz }是它的动量向量
s是它的自旋。
例如，一个电子对应于：
q：电荷 = -1
cB：重子数 = 0
cL：轻子数 = 1
cm：缪子数 = 0
ct：陶子数 = 0
v：旋磁比 = ve
s = 1/2
而反质子对应于：
q：电荷 = -1
cB：重子数 = -1
cL：轻子数 = 1
cm：缪子数 = 0
ct：陶子数 = 0
v：旋磁比 = -ve
s = 1/2
光子对应于：
q：电荷 = 0
cB：重子数 = 0
cL：轻子数 = 0
cm：缪子数 = 0
ct：陶子数 = 0
v：旋磁比 = 0
s = 1
在狄拉克的反物质理论中，所有的电荷都被反转（包括电荷）。
由于光子的所有电荷都是零，这解释了为什么光子是其自身的反粒子，因为：
- 0 = + 0
这种方法因此对普通基本粒子进行了首次几何化。描述仅限于核的组成部分。