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天体的教学图像（恒星、行星、致密蛋）
像太阳这样的恒星是一个质量集中体。周围是虚空，或者说是“几乎空无一物”的一部分空间，因为它包含极其稀薄的气体和光子。在二维中，相应的教学图像是一个钝（正）锥：
(18)
你可以用两个组件来制作它。一部分球面和一部分（正）锥，粘合在一起。球面部分是恒定曲率密度曲面。锥体部分是平坦曲面，即零局部密度曲率曲面。这最后一个例子是欧几里得曲面。球面部分是非欧几里得曲面（黎曼曲面）。
这是恒定密度 r 物体被虚空包围的二维教学图像。
如何将这两个元素固定在一起，以确保切平面的连续性？很简单。你的锥体部分来自一个锥体，其切割对应于角度 q。你的球面部分应该用基本迷你正锥构建，因此它包含一定“量的角曲率”q。如果两个角度相等，切平面将是连续的。
但如何测量给定球面部分中所包含的曲率量呢？
总曲率。
我们可以构建一个曲面，连接基本正锥。我们可以安排它来获得恒定曲率密度曲面。然后我们知道该曲面是球面的一部分。如果我们添加越来越多的基本（正）锥，这个球面将变得完整。它包含一定量的角曲率。所有球面都包含相同的量。乒乓球的总角曲率和地球的总角曲率相等，尽管它们的重量非常不同。
顺便说一句，鸡蛋的总曲率也是一样的，因为它们具有相同的拓扑结构。原则上，母鸡产下具有球面拓扑的蛋。我个人从未见过具有环面拓扑的蛋。那将对应于某种奇怪的蛇，没有头也没有尾，或者类似的东西。
让我们回到乒乓球，正常的球面。如果这个曲面具有恒定的局部角密度，这意味着角曲率量（基本角度 Dq 的总和）将与面积成正比。见图19。这个面积可以被任何类型的边界所限制。但我们可以使用球面的测地线。称 S 为球面的面积，s 为三角形内部的灰色面积。
(19)
上面我们看到，对于画在曲面上的三角形，偏离欧几里得和（180°）的（正）偏差取决于内部锥顶的数量。和是180°加上对应于那些被包围顶点的所有角度。
反过来，如果我测量偏离欧几里得和的偏差，我就可以测量三角形内部包含的曲率量。
球面的测地线被称为球面的大圆。见图（20）。子午线、赤道都是球面的大圆。
(20)
我们可以把球面切成八块等面积的片。见图（21）。我们得到八个三角形，其所有角的值都是90°。那么偏离欧几里得和的偏差就是90°。每个这样的三角形包含等于90°的角曲率。作为结论，总曲率，球面的总角曲率是 8 x 90° = 720° = 4 p。
(21)
每个灰色三角形包含 p/2。
你喜欢曲面、黎曼曲面几何吗？
如果我们回到我们的钝锥，我们看到角曲率包含在圆形边界内部，在恒定曲率密度区域中。锥体的侧面、壁，不是有限曲面。如果你愿意，你可以将它延伸到无限。角曲率的量不依赖于边界的周长、球面部分的面积。后者可以被缩小。见图（22）。甚至缩小到一个简单的点，它仍将包含相同量的角曲率。这就是为什么我们说锥点是集中曲率点。反过来，我们可以用一组锥点构建光滑曲面。
物质由原子构成。原子可以被视为点状物体。它们是三维空间中的“集中曲率点”。
你呼吸的空气是恒定密度介质。它由分子、原子构成。它是一组集中曲率点，由欧几里得空间部分连接。你将其同化为恒定曲率介质。
下次你呼吸时，想想这个。
(22)
