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负锥体。
现在我们来构建一个我们称之为“负锥体”的物体。构建正锥体时，我们从平面上剪去一个扇形；而在这里，我们增加一个对应于角度 q 的扇形：
(30)
在这个表面上，我们可以用胶带画出测地线，并用其中三条构成一个三角形。如果你测量角度之和，会发现它是 180° - q。我们将说它定义了一个负曲率集中点。
你家中就有具有负曲率的物体。例如某些座椅：(30 bis)
如果我们取一个圆盘，就会得到图 (31) 所示的图形：
(31)
当然，如果由三条测地线组成的三角形不包含顶点 S（该顶点包含了所有的（负）角曲率），那么角度之和将是欧几里得和：180°。
马鞍面。
你可以构建大量角度为 -Dq 的基本负锥体并将它们拼接起来。你可以这样做，以使相邻顶点之间的距离几乎恒定。这样，你就构建了一个恒定负曲率密度表面：即马鞍面。但这个表面永远不会闭合。
通常，几何学家称其为恒定负曲率表面。(32)
“钝负锥体”。
在前一节中，我们利用恒定正曲率密度表面（球面的一部分）和正锥体的一部分构建了一个钝正锥体。
类似地，我们可以构建一个我们称之为钝负锥体的物体。我们需要将马鞍面与负锥体的一部分沿着它们共同的圆形边界连接起来。为了管理切平面的连续性，马鞍面中包含的（负）曲率必须等于构建负锥体时所涉及的负曲率。
构建所需的负锥体部分相对容易！
(33)
注：与正锥体一样，负锥体也可用作印刷母版。但我们很难想象如何将负锥体在平面上滚动。因此，更容易的做法是在负曲率母版上滚动平面。
古腾堡发明了印刷技术。在平面上雕刻出浮雕图案，然后涂上墨水，压印到平面上。
后来，印刷母版被改造成圆柱体，用于报纸印刷（轮转印刷机）。
但据我所知，没有人使用过锥形印刷机。
在所有情况下，关键点在于使两个表面接触，无论采取何种方式。要么移动母版，要么滚动纸张（平面表面）。
如图 (34) 所示，你可以使用锥形母版在平面上印刷某些内容。一些锥形报纸，展平后。
(34)
并不完全确定将来不会有人使用这种方法。假设你想生产具有对应于锥形对称性的特殊图案的长袍。假设你需要生产数千件这样的长袍。你可以在锥形母版上雕刻原始图案，然后用它将图案印刷在材料或织物上。顾客可以购买它并制作“锥形”长袍，确保在整个长袍上获得的图案都是正确的。
图 (35) 展示了使用负曲率母版印刷时得到的结果。右侧是一个展平的负锥体。
(35)
图 (36) 展示了如何将马鞍面与负锥体部分连接起来。
顺便问一下，你可能会问：
- 我如何测量我的马鞍面中包含的负角曲率？
在德克萨斯州某些靠近数学系的地方，当你购买马鞍时，相应的角曲率会标在附带的标签上。如果没有标出，当你将边界周长或面积与根据这个负曲率圆盘的半径计算出的欧几里得值进行比较时，你可以推导出相应的角曲率。请将其视为一项有益的练习。
(36)
(37)
现在我们可以使用我们的胶带，画出测地线并将其投影到平面上，如图 (38) 所示。
(38)
像往常一样，这个平面投影指的是我们的“精神世界”，即柏拉图洞穴的墙壁。投影测地线的样子对我们来说意味着某种排斥力正在作用于我们的参考物体，例如排斥性引力。事实上，这一切都应源于底层的几何结构。
