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共轭几何。
我们现在可以将一个钝正锥和一个钝负锥联系起来。
彼此相对：一部分球面和马鞍面，具有相反的角曲率 + q
和 - q。我们有一个点
到点的对应关系（单射映射）。在图 (39) 中，已经画出了一对共轭
点。
我们称两个具有点对点联系、且局部曲率密度相反的几何结构
为共轭几何。
球面部分和相应的马鞍面就是这种情况。同样的情况也适用于正锥部分，
它与负锥部分相对。它们的局部角曲率密度为零。
(39)
褶皱 F 中的正曲率完全包含在
球面部分中。正锥部分是一个欧几里得曲面，
它是“局部平坦的”。在另一个褶皱 F* 中，即共轭褶皱，所有
（负）角曲率都包含在马鞍面中。在外面，
负锥部分是“局部平坦的”，它不包含任何曲率。
请注意，给定一个褶皱，你可以构建另一个。
广义相对论。
基本思想是，“物质-能量”的局部内容
决定了局部几何，它塑造了时空超曲面。请注意
复合词“物质-能量”，它表明任何内容都决定了
宇宙的几何：物质和辐射。在前一节中，我们提到了光子对（正）曲率有贡献这一事实。
今天，宇宙背景的贡献可以忽略不计。物质对
几何的贡献占主导地位。但是，在遥远的过去，情况恰恰相反
：在标准模型中，当 t < 500,000 年时。
让我们寻找一些教学模型，以便描绘
广义相对论的基本概念。让我们处理稳态系统。
考虑一个没有任何内应力的平面。如果我们引入局部应力，
就可以改变它的几何。我们可以引入正张力或负张力
（应力张量）。例如，如果我加热一张塑料薄膜，我就会制造出一个 blister
（正曲率效应）。
我也可以用一种产品浸渍材料，这种产品
干燥后会引起局部拉伸（负曲率效应）。
锅炉工知道如何利用加热和冷却
来塑造金属表面，例如，一个发生过事故的罐子。
拿一根简单的金属管。让我们在一侧加热它，
在相对的一侧冷却它。会发生什么？
(40)
应力会使管子弯曲，如图 (41) 所示。
(41)
我们在金属中引入了张力。这就是数学中张量一词的起源，
即材料抗力和几何。材料抗力专家会用应力张量来谈论。几何学家会援引曲率张量。广义相对论专家会应用基本原理：
局部能量-物质内容
<-------> 局部几何
当然，这个局部能量-物质内容决定了
一个四维超曲面的局部几何。但思路是相似的。
如何写出来？使用数学家所说的张量。
如果不展开一门完整的微分几何课程，就很难在这个方向上走得更远。著名的
爱因斯坦方程是：
(42)
S = c
T
c 是一个简单常数（称为
爱因斯坦常数）。它取决于另外两个常数的值：
-
光速 c。
-
引力常数 G。
通过：
(42bis)
S 是一个几何张量，负责
几何特征。
T 是另一个张量，描述宇宙的局部内容。在这个张量中，你会找到物质密度 r
和压力 p。它们以能量密度表示。
r c2
是能量密度
但 p 也是能量密度。通常人们把压力表示为
帕斯卡每平方米。但帕斯卡每平方米也是
焦耳每立方米。压力本质上是一种体积能量密度。
对于稳态系统，场
r (x,y,z) 和 p
(x,y,z)
构成问题的输入。
从这些标量场我们可以构建张量 T。然后问题
变成：
- 什么样的几何与这样的张量场
T (x,y,z) 相配，并满足方程 (42)？
给定宇宙的局部内容，理论家
必须构建时空超曲面的局部几何。但是，为了什么
？
这里人们使用第二个基本假设：
- 构成我们宇宙的所有物体都遵循
时空超曲面测地线。
一个物体可以是一颗恒星、一颗行星、一个原子、一个光子、一个
基本粒子。
粒子来自场方程吗？根本不是。广义相对论完全忽略它们。对于广义
相对论专家来说，宇宙是一个连续体，仅此而已。输入函数
r 和 p 对应于
对宇宙的宏观描述。输出也是如此：测地线
系统。对于广义相对论理论家来说，宇宙是一个超曲面，
仅此而已。他说：
- 你给了我函数 r (x,y,z)
和 p (x,y,z)。我已经
为你构建了合适的超曲面，它服从场方程。我
已经确定了所有可能的路径：测地线系统。但我完全
无法为你构建粒子。抱歉。去问问另一个部门吧。
总而言之：广义相对论和
基本粒子世界之间的桥梁仍在等待它的建造者。
但天文学家会说：
- 谁在乎？光子应该遵循
这个超曲面的特殊测地线。这行得通：我可以用
光学设备观察事物。行星也应该遵循另一种测地线。
这也行得通。我可以计算它们的路径，预测水星
近日点的进动。还有引力透镜效应。
他说得对。
关于这种引力效应，简单说几句。首先，
这个钝锥的图像只是一个简单的教学图像。例如，它不能
描述行星绕恒星运行的圆形路径：
(43)
这只是显示了教学图像的局限性。但我们可以
用最后一个例子来说明引力透镜效应，用
两条测地线：
(44)
下面是空间的心理欧几里得表示。
存在一种海市蜃楼效应。观察者看到的不是一个单一物体，而是两个“引力
海市蜃楼”。
