| 8 |
坐标不变形式体系。
这是广义相对论的另一个关键词。我们说过，宇宙学家的工作相当于根据内部应力预测材料形状的工作。
取一个拓扑结构为球面的物体。它是一个金属球。在这里，我们同样可以用热气流和冷气流来塑造它。
(45)
这些气流在金属中产生应力，从而改变其形状。当然，随着热量在金属中传播，如果停止加热和冷却，球体的温度会重新变得均匀，其外观也会再次变得规则。
我们在材料中产生应力，从而改变其几何形状。
这个应力场可以用一个称为张量T的数学对象来描述。
物体的几何形状可以从一个场方程计算出来，类似于爱因斯坦方程。
(46)
S = a T
其中a是常数，S是一个几何张量，描述几何特征。
“读取”解的最佳方式是计算测地线系统。我们知道球面的测地线，但鸡蛋的测地线不同。为了表达这些测地线，我们需要一个坐标系。
对于球面，我们可以使用(q,j)系统：
(47)
在这个特殊的坐标系中，球面的测地线可以表达为一种特殊形式。例如，曲线：
q = 常数（子午线）
是测地线。但曲线
j = 常数（纬线）
不是该曲面的测地线。
我们可以在“鸡蛋”曲面上定义一个类似的坐标系。但有一点是显而易见的：测地线系统独立于其数学表示（在给定的特殊坐标系中）而存在。
测地线系统是坐标不变的。
另一个例子要简单得多。考虑一张平板的测地线。它们是直线。我们可以在笛卡尔坐标中描述这些直线：
(48)
我们也可以在极坐标中描述这族测地线。那么方程完全不同，但它们指的是同一族直线。这些直线，即平板的测地线，独立于所选的坐标而存在。它们是坐标不变的对象。
方程不是一种内在属性。
它是当我们从一个坐标系转换到另一个坐标系时不变的东西吗？
是的：两点M1和M2之间的测地线路径不变。曲面上画的任何线也是如此。曲面、点、连接它们的曲线都独立于所选的坐标而存在。M1和M2之间路径的长度也是如此。对于测地弧也是如此，测地弧是连接两点的特殊曲线：
(49)
顺便说一下，这条测地线路径也是一条极值路径（例如图中所示的最短路径）。
这类似于时空超曲面，它拥有自己的测地线系统，同样是坐标不变的。在这个超曲面上，确实存在一个长度s，它属于该对象，并且独立于所选的坐标系。
困难之处在于空间和时间不是独立的量。我们并不生活在一个有坐标点(x, y, z)的三维空间中。我们属于一个四维超曲面，它完全由其测地线系统来描述。
考虑这个超曲面上的两个不同点M1和M2。
这样的点可以在给定的四坐标系统中描述：
M1 ---> (x1 , y1 , z1, t1 )
M2 ---> (x2 , y2 , z2, t2 )
这些点被称为事件。我们可以计算连接它们的测地线曲线（如果存在的话）。这样的事件不是相同的。在两者之间我们可以测量一个距离s，它是坐标不变的。
这个长度被称为：
固有时间s
假设你和我乘坐宇宙飞船，从一个点M1旅行到位于时空中的另一个点M2。
s是我们船上时钟的时间度量。
你会争辩说：
- 但空间是存在的，不是吗？
- 小心。我们所谓的空间和“绝对时间”的定义对应于一种任意选择。它们只是一些方便的方式来“读取”曲面，就像当我们在平板上用两个不同的方程写出直线方程时一样。唯一不变的东西，即坐标不变的，是两个事件之间的固有时间间隔Δt，这两个事件由另一个坐标不变的对象——测地线——相连。所谓的“绝对时间”t只不过是一个多少有些任意的时间标记。
改变你的坐标系，你就改变了对事件的读取。在我们将在本网站上展示的论文中，你会看到这是一个真正的问题。
无论如何，你理解了为什么物理学家和数学家选择了基于张量的坐标不变形式体系。
张量形式的方程是坐标不变的。
这就是广义相对论的精神。但是，除非使用精密的硬件，很难再告诉你更多了。
