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相反，真正的内禀奇点存在于曲面上。
它们是真正的几何奇点：(55)
(56)
(57)
以此类推……
顺便说一句，褶皱是曲面上一个特殊的区域，线性曲率集中于此。在图(57)左侧，我们有一个负的线性曲率。在右侧则是一个正的线性曲率。
我们在每个子图中使用了两块球面。整体对象与球面具有相同的拓扑，这意味着它的总角曲率为4π。
假设左侧的对象由两块球面构成，每块各包含3π的角曲率。
3π + 3π = 6π
这太多了。因此，（负的）线性曲率必须平衡它，以给出最终所需的值4π：
作为结论，我们的褶皱包含一个负曲率：
- 2π。
这个曲率均匀分布在圆形曲线上，沿着褶皱。
回到图(57)。我们画出了用测地线构成的三角形。但你可以用（窄的）粘胶带毫无问题地穿过一个褶皱。你知道如何计算、如何预测三角形三个角之和。你只需将三角形的面积与球面的面积进行比较。曲率的超出量为：
(58)
但你必须考虑弧mn中褶皱部分所含的（负或正）曲率。它是：
(59)
假设图(57)右侧的一种透镜状物体由两块球面构成，每块各包含π的角曲率。因此，如果我们忘记褶皱，这组两块球面包含2π的角曲率。但这个透镜具有类球面的拓扑。角曲率的贡献必须是2π。那么：
2π + 2π = 4π（球面的总曲率）
你也可以预测这个由三条测地线构成的奇怪三角形的角之和。弧mn包含线性角曲率：
(60)
当测量三角形内部褶皱中所含的角曲率量时，就可以衡量与欧几里得和π的偏离。
你看，你可以相对容易地处理曲面上的这些曲率问题。
一个曲面可能拥有锥点或褶皱线。它们是内禀奇点，而非由于某种坐标选择而产生的人为奇点。注意我们可以将褶皱光滑化。然后我们得到一个花生形：
(61)
这类似于将锥体的点状顶点（集中的角曲率）光滑化，将对象转化为一个钝锥（角曲率展示在一块球面上）。
假设图(61)上方的那两块球面各代表一个球面的2/3，即一个曲率
(62)
“花生”的灰色部分包含负曲率。确切地说：
(63)
