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代表性空间。
我们在前面的一节中已经看到，一个圆柱面可以被展平。现在，拿一张纸，一张平整的薄片。它是一个欧几里得曲面。你可以在上面画测地线。现在把它揉皱。
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如果你能让这个揉皱的曲面变得刚性，并用胶带在上面画测地线，你会再次遇到同一个系统！曲面并没有真正改变。如果某个居民生活在这样一个“平面国”里，他也许无法察觉揉皱的过程。一切对他来说都会保持正常，就像他今天的生活一样：例如，沿着他的二维时空曲面的测地线行进。
揉皱这张纸，你只是修改了代表性系统，即这个二维曲面嵌入三维欧几里得空间的方式。
一个更简单的修改是把一块平整的金属板变成波纹面。见图(65)
(65)
许多年前，我在埃塞俄比亚亚的斯亚贝巴的大市场上。在那里，金属很稀缺。你会找到一些作坊，年轻人在那里用一把简单的锤子把波纹铁皮变成平板。如果他们中有人在操作前画过一条测地线，我们会发现测地线系统不会改变。
但说实话，我并不真的确定这种家伙从数学意义上是否知道什么是测地线。当然，任何编篮子的人都会自然而然地使用测地线。
我记得我曾在一家假日营地里教编织，地点在伯灵顿和尚普兰湖附近，佛蒙特州……那是很多年前的事了。
请记住，几何对象有它们自己的存在和性质，这些存在和性质独立于你在更高维数空间中描绘它们的方式。无论揉皱与否，一张纸就是一张纸，也就是说，一个欧几里得曲面。
我们被假定生活在一个四维超曲面中。顺便说一句，我们都被假定以同样的方式生活。但我的妻子克莱尔，一个非常迷人的女人，确信我生活在一个更高维度的空间里（她认为是五维）。有时，当我待在我个人的第五维某处时，这会给交流带来一些困难。
但女性真的生活在四维超曲面中吗？有时我对此持怀疑态度，但那是另一个话题。
承认你生活在一个四维超曲面中，并沿着这个时空的测地线行进，你像一头牛沿着它的犁沟一样跟随。
现在假设你是上帝。你想要这个四维超曲面的完整表示。那么你至少还需要一个维度。就我个人而言，我认为，如果上帝存在，他必定生活在一个十维的超世界中。随后的论证将在《几何物理学B》中展开，并且来自群论。
上帝拥有群结构吗？
实际上，广义相对论专家会计算一个场方程的解（爱因斯坦解）。然后他检查测地线系统。它们是“笔直的四维线”。在时空中，当你沿着测地线行进时，总的原则是：
- 直走！不要左转或右转。
你服从，只是因为你别无选择。在时空中，转弯是无意义的。一切、每个人都“直走”。
但事物、路径、轨迹，对我们的三维眼睛来说看起来是弯曲的。我们是在我们的心理空间表征中这样解读的。我们面对柏拉图洞穴的墙壁，看着舞动的三维影子。
让我们回到我们的二维教学图像，回到钝锥。它被假定用来描绘质量集中（灰色区域）附近的空间。我们假设它对应于稳态。
我们可以使用球坐标（r，q，j）作为空间标记（在三维中）。在二维中我们只有两个：（r，q）。
然后我们可以把图形投影到一个平面上，并使用同一组极坐标。见下一图。
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如上所述，钝锥曲面是一个粗糙的教学模型，暗示着爱因斯坦场方程的一个特殊解
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S = c T
由史瓦西于1917年建立。这是一项出色而巧妙的工作。只是想说，在那个时代，阿尔伯特并不是一个迷失在荒岛上的孤独天才。许多人认为伟大的德国数学家希尔伯特发明了“爱因斯坦方程”。另一些人则提出，爱因斯坦夫人可能对狭义相对论的建立做出了有效贡献，而狭义相对论自然来自庞加莱和洛伦兹的工作（如果你看看爱因斯坦的工作，你会看到他很少提到别人）。
史瓦西解是广义相对论的一个里程碑。人们用它来计算行星绕太阳的相对论轨迹，证明了水星近日点的进动。
任何人都会立刻说：
- 为什么史瓦西不自己计算那个？
有一个很好的理由：他死了。
史瓦西是个爱国者，坚持要在1917年上前线。他在那里中了毒气，后来去世了。爱因斯坦继续了这项工作，它变成了“爱因斯坦理论”。
这是一个稳态解。后来爱因斯坦试图建立一个宇宙模型，在其中曲率可以被等同于能量-物质含量。但在那时，没有人知道宇宙是非稳态的。阿尔伯特试图建立一个稳态模型，但情况不太好。然后他拜访了埃利·嘉当，一位伟大的法国数学家，后者建议在场方程中加一个常数，爱因斯坦照做了。
然后一个名叫弗里德曼的俄罗斯滑翔机飞行员发明了一个非稳态解。大约同一时期，埃德温·哈勃发现了红移和宇宙的非稳态特征。爱因斯坦非常失望地说：
- 如果我知道宇宙是非稳态的，我会在弗里德曼之前找到解！
如果，拉栖代梦人过去常说。
但故事并没有就此结束。最初，弗里德曼建立了循环解，它是构成“弗里德曼模型”的三个解之一。
爱因斯坦沉默了好几年。然后，在弗里德曼死后，他发表了“爱因斯坦-德西特模型”，即“抛物型弗里德曼解”。
后来，一位名叫卡鲁扎的年轻波兰研究者向“爱因斯坦教授”提交了一篇论文，被拒绝发表超过一年。卡鲁扎向爱因斯坦抱怨，爱因斯坦回答说：
- 你应该更仔细地看看这个理论。我持怀疑态度……
许多年后，卡鲁扎的想法（给时空增加第五维）成为先进工作的起点（包括超弦方法）。见《几何物理学B》。
嗯，阿尔伯特并不是那么有运动精神……
让我们回到对应于太阳周围时空几何的稳态三维模型。计算给出位于平面内的测地线。如果曲率效应适中，且速度相对于光速c很小，它们在代表性欧几里得时空中的投影对应于准开普勒路径和开普勒定律。我们可以忘记时间，用极坐标在平面内描绘这些测地线。
r = f（q）。
在史瓦西解中，事实上存在两个相连的“度规解”，如图(68)所示。在“大质量物体”内部，质量密度r被假定为常数。那里能量-物质T张量非零。但在外部，r和T为零。
(68) 
这是一个复合几何。在三维中，质量密度在“质量集中”的表面（假定为球面）显示出突然的不连续性。这类似于表面上角曲率密度的不连续性（灰色区域非零，外部为零。边界变成一个S1球面，即一个……圆）。
在四维中，可以建立数学联系，以确保测地线的连续性。这类似于球面部分与正锥部分的连接段。
当质量变得重要时（我们的粗糙二维教学模型无法描述），闭合路径不再是椭圆形的。
见图(69)。这幅图对应于一艘航天器绕中子星的轨迹。
水星绕太阳的轨迹类似，但椭圆路径近日点的进动为每世纪0.15°。
(69) 
某一天我们会加入公式和程序，使得可以玩弄这个问题。这并不很难。
本页末尾和下一页有一些数学信息，如果你想的话可以直接转到第13页
