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几何背景。
球面是一个二维几何对象。我们需要两个量、两个数、两个标量来确定球面上的一个点。
球面是一个具有拓扑结构的曲面。其拓扑结构与环面的拓扑结构不同。
两者都具有测地线系统。正如前文所述，我们可以在球面上确定两个不同的点 M1 和 M2，以及一条连接它们的曲线。然后我们可以测量沿这条特定路径的长度。这是一个坐标不变量。S2 球面独立于任何三维代表空间而存在。但我们可以将其描绘在我们所熟悉的、假定我们生活其中的欧几里得三维空间中。然后我们可以给这个球面指定一个中心，并将球面上所有点与该中心相连。见图 (116)。每个点对应两个角度：q 和 j。
(116)
我们在球面上开了一个洞，以便展示向量 OM，其中 O 是球心，M 是球面上的一点。
现在，图 (117) 保留向量，而去掉球面。
(117)
这些半直线是无限长的，但我们将其截断至某一给定长度，该长度对应于我们球面的半径 R。每条直线对应一对 (q, j)。度量结构已消失。没有测地线，没有长度。还剩下什么？
这些半直线中的每一条都有邻近的直线，它们构成了该直线的邻域。每条半直线都可以被描绘为包含在一连串的锥体之中（见图 (118)）。
(118)
围绕任意一条直线，我们可以放置任意数量的锥体直线。在两个这样的锥体之间，我们总可以插入另一个锥体。这直观地暗示了可微性的概念。在这样的几何对象中不存在不连续性。
现在，忘掉球面，取一个平面。它是一组点的集合。无论我选择什么坐标系，我都可以用两个量来定义这些点：(x,y)、(r,q) 等等。
一对实数。这些数取自 R2，即实数集，例如 (3.8705, -17.56)。
任意一对实数 (x; y) 都有无限多个邻近对 (x + Dx; y + Dy)。
数学家将这些“预备度量”对象称为流形。
思考这种“柔性”介质相当困难。在 (119) 中，我们描绘了一个具有度量性质（如长度等）的刚性平面，以及其下方点的阴影。
(119)
阴影没有固有的形状或跨度。它取决于屏幕和光线的产生方式。在图 (120) 中，我们展示了阴影相对于物体的相对性。
(120)
这些“平行线”类似于我们之前引入的、用于连接球面上的点与其中心的射线。在这里，平面上的点被“连接”到一个位于无穷远处的“源”。
放弃这个关于直线的最后想法。考虑一束煮熟的意大利面（如果它们没煮熟，就应该是刚性且易碎的）。我们可以弯曲这束面。但我们要求面条保持在一起。它们的邻域不得被改变。
(121)
我知道，这一切都非常粗糙，并不完全严谨。我只是试图向读者提示流形可能是什么样子：一个没有度量的几何对象，其主要性质是任意点都有邻近点。
流形是一组点 m。我可以想象将流形上的任意点与一对点 (M1, M2) 相关联，这对点属于具有度量性质（如长度等）的实曲面……
我将 n 维流形称为骨架流形，将相关的 n 维曲面称为叶。然后我构建
流形的二重覆盖。
图 (122) 展示了二维流形 m2 的二重覆盖。
(122)
在 (122) 中，我描绘了具有相同度量的全等、平行的欧几里得叶（平面）。但我可以构建图 (123)：
我们将称 M 和 M* 为共轭点。从“骨架流形”构建这两个叶具有明确的含义：对于叶 F 上的任意点 M，我们可以关联唯一的一个共轭点 M*。存在一种点对点映射。然后我们可以忘掉骨架流形。
叶 F 上任意点的邻域对应于其共轭点 M* 的邻域。见图 (124)。这意味着 F 上的任意正则区域对应于属于 F* 的一个共轭正则区域。
(124)
这特别表明，共轭点 M 和 M* 由同一组坐标描述。
