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共轭曲率。
我们如何理解具有局部正曲率或负曲率的三维空间？
从二维曲面开始。考虑一个球面，并在其上某处固定一枚钉子，如图(125)所示。固定一根长度为L的绳子，连接钉子和一支铅笔。我们可以用它来画一个圆，即球面的一个平行圈。球面的平行圈是与给定点S距离同为L的点集。
我们可以进行类似的操作（图(125)：
-
在马鞍面上
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在平面上。
(125)
在平面上，周长为2πL，而圆盘的面积为πL²。
在球面上，圆盘的周长和面积都更小。在马鞍面上，则相反，它们更大。
考虑一个球面及其赤道所对应的平行圈。见图(126)。数值对应于图(126)
(126)
圆盘的面积比球面上对应的（灰色）部分大3.875倍。其周长比赤道长度长1.57倍。
类似的测试可以显示马鞍面的负曲率。如果我们在马鞍面上画一条闭合曲线，即与给定点距离同为L的点集，这个负曲率圆盘的表面大于平坦圆盘的表面πL²。同样，负曲率圆盘的周长也大于平坦圆盘的周长：2πL。
几何学是一门为盲人服务的科学。几何学家试图构建测试，使给定空间的居民能够自行操作，以发现其几何性质。从上述图形中，二维曲面的居民无法从外部视角看到这个曲面（因为他们生活在其中），但可以通过面积和长度测量来发现他们所居住的曲面部分是否具有局部正曲率、局部负曲率或零局部曲率（欧几里得空间）。
注意，有些曲面的局部曲率可以是正的、零或负的。例如：环面。
(126ter)
类似的方法适用于三维空间。在某处选择一个点O。取一根绳子、一支“铅笔”，用它来画出与所考虑点距离为给定L的点集。你得到一个球面，可以测量其面积。如果这个曲面是在欧几里得三维空间中构建的，这个面积将是：4πL²。
如果发现这个面积更小，意味着这个三维空间不是欧几里得的。它是一个黎曼三维空间，具有正曲率。如果我们测量体积，会发现它小于：
(127)
如果我们处理的是负曲率三维空间，情况则相反。球面的面积，即与固定点O距离为给定L的点集，将大于4πL²。该闭合曲面内部的体积将大于(127)。
宇宙学并非建立在简单的三维空间之上，而是建立在四维超曲面（具有“双曲符号差”）之上，因此这种表述是有限的。我们必须将其视为一个粗略的教学模型。
n维空间的黎曼标量曲率有所不同。
在我们目前的宇宙学模型中，我们假设共轭点(M, M)处的局部标量黎曼曲率相反：*(127bis)
R* = -R
专家将在以下论文中找到更多细节：
J.P.Petit & P.Midy：物质-幽灵物质天体物理学。2：共轭稳态度规。精确解。几何物理学A，5，1998年3月。
接下来是一幅有用的二维教学图，对应于图39。
(128)
上图：一个平滑的正锥。正锥部分中局部（角）曲率为零。球面（灰色）部分中正（角）曲率密度恒定。
下图：一个“平滑的负锥”。负锥围绕马鞍面的部分中局部（角）曲率密度为零。马鞍面面向球面部分的部分中负（角）曲率密度恒定。
曲率是共轭的。面对面，逐点对应，正锥和负锥的零局部曲率部分。
面对面，逐点对应，一个恒定正曲率曲面（球面的一部分）和一个负曲率曲面（马鞍面）。曲率密度相等且相反。圆形边界逐点相连。
这是我们的宇宙学模型的教学图。更多数学细节，见：
J.P.Petit & P.Midy：物质-幽灵物质天体物理学。1.几何框架。物质时代与牛顿近似。几何物理学A，4，1998年3月。
