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由幽灵物质诱导的几何。
在上一节中，我们研究了由于在折叠F中存在恒定密度、正质量M而导致的共轭几何。现在让我们假设在折叠F*中存在一个（恒定密度r* > 0）正质量M*>0。我们假设在宇宙的这一部分中，F的共轭区域是空的。
那么T*描述折叠F*非空部分的能量-物质内容。相应的场方程组为：
S = - c T*
S* =c T*
几何简单地交换：
(135)
观察图(135)，我们看到位于折叠F*中的质量M*吸引幽灵质量，后者沿这个孪生折叠的测地线运动，并排斥沿折叠F测地线运动的正常质量。
观察图(135)，我们看到折叠F获得了一个诱导几何，这是由于在其折叠F*中存在幽灵质量M*。
相互作用定律。
从(128)和(135)我们可以推导出相互作用定律：
-
物质吸引物质
-
幽灵物质吸引幽灵物质。
-
物质和幽灵物质相互排斥。
另见：
J.P.Petit & P.Midy：物质-幽灵物质天体物理学。
1.几何框架。物质时代和牛顿近似。
几何物理学A，4，1998年3月。
在本文中，我们还表明，相互作用力是牛顿式的。
我们看到这与J.M.Souriau提出的图式不同，其中第二种类型的两个粒子相互排斥。
在我们的图式中，我们看到所有质量m和m*都是正的。但诱导几何现象使得在某处可能出现局部负曲率，这在经典广义相对论中是被禁止的。
总结起来，我们可以写出场方程组：
(136)
S =c (T - T*)
(137)
S* =c (T* - T)
这给出反比的标量黎曼曲率：
(138)
R* = - R
如果折叠F中的局部曲率为正，这意味着：
(139)
T > T*
或：
r > r *
那么共轭曲率在F*的相邻部分为负。
相反，如果折叠F中的局部曲率为负，这意味着
(140)
T < T*
或：
r < r *
那么它在折叠F*中为正。
如果折叠F中的局部曲率为零，这意味着孪生折叠F*的相邻部分中的曲率也为零。
此外，要么
T = T* = 0
或：r = r * = 0
T = T* ( r = r *)
关于经典广义相对论检验。
物质和幽灵物质相互排斥。星系是物质的聚集。那么孪生空间F*的相邻部分极其稀薄，因为质量m*已被推开。在太阳附近，幽灵物质密度（r*或T*）可以忽略不计。那么场方程组简化为：
(141)
(141 bis )
(141)是爱因斯坦方程，我们从中构建所有局部经典广义相对论检验。
爱因斯坦方程成为幽灵物质密度趋于零时的极限情况。
