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坐标变换下的不变性。
...这是广义相对论中的一个关键概念，但并不容易表述。我们说过，寻找一个“宇宙学解”，无论是定态还是非定态，本质上就是构造一个四维超曲面，使其成为“场方程的解”。
...例如，设想一个具有球面拓扑结构的金属壳体。这可以称为“一个金属球”。显然，我们可以通过局部加热和冷却来改变这个表面的形状。比如，加热某一点并冷却其对跖点，就能把球体变成一个鸡蛋。鸡蛋虽然具有球面的拓扑结构，但其曲率是变化的。
...在某处加热、在另一处冷却，会在金属内部产生应力。当然，由于这种材料是导热的，一旦停止加热和冷却，温度会趋于均匀，物体将恢复成球形。关键在于，我们能够创造出一种稳态情况，其中存在一个非均匀的温度场。这个场会产生应力，我们可以通过一个称为张量的数学对象T来具体表示这些应力。
某种东西描述了物体的几何结构。这被称为度规。从这个第二个数学对象出发，我们可以：
- 计算几何张量S；
- 计算曲面上的测地线。
这个曲面的几何结构可以通过类似于爱因斯坦方程的方程来计算，形式如下：
S = a T
其中a是一个常数。如果我们事先知道金属板中的温度场，即应力张量，那么就可以推导出其几何结构。最有效的方法是分析测地线系统。我们已经知道球面的测地线（即“大圆”）。而鸡蛋的测地线则不同。
...为了描述这些测地线，我们需要在曲面上定义一个坐标系。对于球面，可以采用经典的方位角-余纬坐标系。
...在这一特定坐标系中，球面的测地线对应于某些方程。
在球面上，q = 常数的曲线代表通过两点的一族测地线。而j = 常数的曲线（纬线）则不是曲面的测地线。
...我们也可以定义类似的坐标系，并写出“鸡蛋”曲面的测地线方程。但很快就会注意到一个关键点：曲面的测地线与我们用来描述它们的坐标系无关，就像球面或鸡蛋上的点本身存在一样，与我们用来标记它们的坐标系无关。
...同样，在平面上，我们既可以用笛卡尔坐标，也可以用极坐标表示点。平面上的直线就是测地线。
一条直线可以在两种坐标系中被描述：
...这是同一条测地线，但描述方式完全不同。平面上的直线独立于我们如何描述它们，独立于所选的坐标系。我们甚至可以想象出……无穷多条。
...那么，什么是本质的呢？答案是：在一条直线（或任意曲线）上测量的长度s。在曲面上两点M1和M2之间，最短路径就是一条测地线。
...同样，连接两个点的距离，无论是球体还是鸡蛋上的测地线，都是一种与所选坐标系无关的量。如果我们取曲面上的两点M1和M2，并画出连接它们的测地弧，那么沿这条弧测量的长度s，无论使用何种坐标系来标记点，结果都是一样的。
...四维超曲面（我们称之为“宇宙”）也是如此。它拥有自己的测地线系统，同样也具有坐标变换下的不变性。我们并非生活在一个具有位置坐标(x, y, z)和时间坐标t的四维空间中，而是生活在一个四维超曲面中，这个超曲面完全可以由其测地线网络来完整描述。在这条测地线上，存在一个长度s，它同样在坐标变换下保持不变。这个超曲面上的点不再是空间中的点，而是时空中的点。我们称它们为事件。因此，两个不同的事件之间被某种称为s的东西所分隔。那么，s到底是什么？
它就是 固有时。
...在这一四维时空超曲面中，一条测地线连接两个事件M1和M2。我所能说的只是：如果我用某种交通工具在时空中完成这段旅程，那么我的车载时钟上显示的时间就是s。
选择一组坐标，就是用空间坐标(x, y, z)和时间坐标t来标记时空中的点。但这种选择是任意的，因此空间和时间本身并无内在存在性。它们只是“阅读”曲面、遍历曲面的方式。唯一约束是：根据所作假设，我们只能沿测地线移动，而在这些测地线上，唯一可靠可依赖的，是“固有时”s，而不是那个作为时间标记的t——它只是一个单纯的计时参考。
对于每一种坐标系的选择，都对应一种不同的事件和现象的“阅读”方式。
...因此，物理学家们寻求一种与坐标系选择无关的数学形式。这正是张量形式的本质。关于这一点，我们无法说得更多，否则将不得不进入相对复杂的细节。
奇点问题。
在球面上，传统的角度坐标选择会引入两个极点奇点。
不可能在不引入这种极点奇点的情况下对球面进行完整地图绘制。
...值得注意的是，我们也可以用一个唯一的奇点来绘制球面。我们通过平面切割球面，形成第一组曲线（圆），如下所示：
然后形成第二组曲线：
除了唯一的奇点外，其他地方都没有问题。如果我们从球面的另一侧观察，会看到如下情形：
...除了唯一的奇点S外，其他点都可以轻松标记。但定义这个网格奇点S的参数a和b的值……却是任意的。
...然而，球面在几何上并非内在奇点。无论你如何旋转一个台球或一个鸡蛋，都找不到任何奇点。
因此，这些奇点是由坐标选择人为引入的。
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