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使用坐标系可能带来的问题。
...我们将讨论在几何解上强行套用坐标系所引发的风险，即用特定坐标系来表达该解：前提是这个坐标系必须是合适的。当我们观察上述几何结构时，假设该几何结构是某个场方程的解，采用(r, q)坐标系的前提是其拓扑结构“在局部上呈球形”（当然，这是在二维情况下）。也就是说，在以这个假想的几何中心为圆心的任意圆内，总可以内接一个更小的圆，直到这个圆收缩为一个点。数学上，我们可以说，任意半径为r的圆都界定出一个“可收缩的胞腔”。
...在三维情况下，局部上宇宙将呈现“俄罗斯套娃”式的结构。在任意一个球体内部，总可以内接一个表面积更小的球体。在三维中，这体现为一种局部球形的拓扑结构。
是否可能不是这样？
是的，如果表面的拓扑结构是“局部环形”的。在二维情况下，情况如下：
...注意：上图中的对象是一个二维表面，因为需要两个参数才能确定其上某一点的位置。从这个意义上说，一条曲线是一种“一维表面”。当几何学家提到圆时，他会使用“S1球面”这一术语，即“一维球面”：在一条一维对象（曲线）上，仅需一个参数（坐标）即可确定某一点的位置。S2球面（普通球面）和S1圆面（一维球面）有一个共同点：它们都是“封闭的”对象（这一概念当时是从拓扑学借用的）。
...用于定义空间中某一点位置的量的个数，正是该空间“维度”的定义。因此，我们将时空（x, y, z, t）视为一个四维超曲面，因为需要四个量才能确定一个点（即“事件”）的位置。
关于“维度”概念的说明到此结束。
...我们必须始终牢记一点：构造某个场方程特定解的几何学家是盲目的，他无法“看见”自己得到的几何对象。他只能通过测地线来探索它，并在特定坐标系中描述这些测地线。前面提到的极坐标，对应于表面与一组同轴圆柱面的交线：
以及一组通过这些圆柱共同轴线的平面的交线。
在三维情况下，这相当于空间与一组同心球面的交线。
...但如果用一组同心圆柱面去截这个具有管状桥接结构的表面，会发生什么？只要圆柱面与表面相交，一切正常。但当圆柱面的周长小于“喉部圆周”时，这些截线就变成了……虚曲线。设喉部圆的周长为p，将其对应到一个长度Rg，使得p = 2πRg。
...显然，所有满足r < Rg的圆柱面都不会与表面相交。当几何学家试图研究r < Rg区域的测地线形态时，他将发现一些几何对象是虚的。
...当我们求一条直线（例如x = x₀）与一个圆的交点时，若直线确实与圆相交，则会得到两个实数解（y值）；否则，这两个解就变成纯虚数。
...如果一个人在黑暗中探索一个表面，无法感知其“形状”，又不知道其拓扑结构是“局部环形”的，他可能会感到极度困惑。
这个表面可以用两组曲线来标记：
...每条曲线由一个参数定义。点M是这两条曲线的交点，由两个量（a, b）唯一确定，即通过M的两条曲线的参数值。
...第一组由非测地线的圆构成（只有喉部圆是测地线），第二组由与这些圆正交的双曲线型测地线构成。这些双曲线形状的曲线让人联想到下坠轨迹，能够从一个曲面“跃迁”到另一个曲面。
...显然，在三维空间中也可能出现类似情况，即局部呈“超环形”拓扑。此时，圆被一组球面取代，其中包含一个“喉部球面”，其表面积最小。与这组球面正交的轨迹线构成下坠路径，可穿越这个超环形隧道，并从另一侧的三维曲面（或“页”）重新出现。
...这一说明并非无的放矢。当我们检验黑洞模型时，将有机会再次回到这一点。事实上，在该模型中，当进入“视界球体内部”时，粒子的质量会变成……纯虚数（这还只是众多奇怪现象之一）。此时我们有理由质疑：我们是否仍在时空超曲面上？所采用的特定坐标系（t, r, θ, φ）暗示了一种“局部超球形”拓扑结构（存在一个径向坐标r，其值可小于史瓦西视界球体的半径），这种选择是否合理？
几年前，一位著名的天体物理学家曾写道：
- “我们现在对黑洞内部有了更多了解。”
但若黑洞真的存在，它们是否有“内部”？还是说它们实际上对应于一种局部超环形拓扑？
...由此可见，坐标系的选择可能带来多么深远的影响。几何解本身是存在的，它拥有测地线。但我们“解读”这一切，只能通过将其投射到我们心理想象的“空间”中：一个欧几里得时空，甚至都不是相对论性的。选择一个坐标系，就是选择一种阅读方式，一种投影系统。
...正如柏拉图寓言中的角色，我们只能观察“欧几里得屏幕”上的影子。但关键在于，我们必须选择正确的“投影系统”目标。
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