f122
| 22 |
|---|
几何背景。
……球面是一个二维空间。要确定其中一点的位置，需要两个参数。这是一个具有拓扑结构的空间（关于“拓扑”一词的含义，详见我的漫画《拓扑奇境》，Belin出版社出版）。球面与环面（torus）的拓扑结构不同，其“形状”也不同。球面上存在测地线。我们可以在球面上画出连接两点M1和M2的路径，并测量其长度s。这个长度与所选坐标系无关，正如球面上遍布的测地线一样。
……将球心与球面上所有点相连，我们得到无穷多条射线。这些射线可以用与点相同的坐标系统来标记，例如两个角度q和j。
上图是我们的球面。我们挖了一个洞，以展示所有向量射线的集合。
现在，我们移除球面，只保留这些向量射线。
……这些射线被截断了，但实际上它们是无限延伸的。每一条射线仅由两个参数（例如两个角度）决定。度量结构已经消失，不再有测地线，也不再有长度。那么还剩下什么？
-
每一条射线都有一个邻域。我们可以选取邻近的射线，将它包围在一个类似圆锥的区域内。在这个圆锥内部，我们还可以画出更窄的区域，其中包含该射线。这类似于同心圆或俄罗斯套娃，但这里用的是射线束。不过，我们并不需要在这些圆锥上画测地线。它们的每一条母线仅是一组两个参数（例如两个角度）的集合。
-
我们可以直观地理解“可微性”的概念。这种“结构”中没有不连续性。
取一个平面，带有测地线、长度等性质。
……无论我选择何种坐标系，都必须用两个实数（x,y）、（r,q）等来标记点的位置。
这些实数取自R²，即所有实数对的集合，例如（3.8705，-17.56）。这个实数对空间中的任意一对点都有邻域。这是“连续”的。
这些“前度量”对象被称为流形（数学家总喜欢选用对普通人毫无联想意义的词汇）。
……至此，我们可以跳过这一步：即考虑n个实数的集合（n维空间），而不自动赋予其长度或测地线的概念。
……这就像想象一个表面，其点仅需保持与邻近点的接触即可。这个表面无限柔韧且可任意变形。按惯例，如果我们用轮廓（即边界或外观轮廓）来表示一个表面，那么我们可以通过简单地去掉轮廓来引出“流动的”流形概念：
……这一图像实际上暗示了物体的影子。而影子既无实体，也无固定形状。其几何形态取决于投影的物体。
我们也可以将流形（英文为manifold）在没有度量的情况下想象成一组直线。
……这里画的直线看起来是平行的。但实际上，这些直线可以任意排列，只要保持彼此之间的邻近关系和邻域关系即可。
……最终，一个二维流形V2的良好图像，就像一捆煮过的意大利面：先煮熟，然后可以随意弯曲、扭转，但面条之间的相对顺序不能改变。
无论如何，我们可以在一个流形上执行一个双叶覆盖操作，并为每一叶赋予度量，如下图所示：
这里有两个二维叶，都具有相同的度量（欧几里得度量）。但我们也完全可以这样做：
……我们将称M和M为共轭点*。说两个共轭空间是流形的双叶覆盖，仅意味着两个叶F和F之间存在一一对应关系，但例如同构点对（M1,M2）、（M1,M*2）之间的距离可能不同。唯一的约束是：点的邻域必须相互对应，且一个叶上的非奇异区域必须对应另一个叶上的非奇异区域。
……我们又回到了刚才那捆柔韧的面条。所谓“骨架流形”的结构，仅用于建立两个几何对象之间的单射映射。上图的目的是彻底打破诸如“两个叶F和F如何相对排列？如果F是一个宇宙，F又在哪里？”这类问题。这两个叶仅仅是共轭的，存在点对点的对应关系，而这些共轭点可以用相同的坐标来描述。
../../../bons_commande/bon_global.htm
自2004年7月1日起，本页面的访问次数：**