| 23 |
|---|
共轭曲率。
...如何理解三维空间中局部曲率的正负概念。取一个球体，随便在某处钉一枚钉子，系上一根长度为L的绳子，绳子另一端绑一支铅笔。我们可以画出一个圆，即一条纬线。同样地，对一个平面和马鞍面也进行同样的操作。
...在平面上，圆周长为2πL，圆盘面积为πL²。
...在球面上，帽状区域的周长和面积都更小。而在马鞍面上，由这条闭合曲线围成的周长和面积则更大。例如，取一个半径为R的球体，令L等于赤道周长的四分之一，即πR/2：
...圆盘面积是球冠面积的3.875倍，其周长是赤道周长的1.57倍。
...通过在曲面上进行类似的测量，我们可以判断局部曲率是正还是负。三维情况也类似：取一个点，用长度为L的绳子画出一个球面。如果这个球面的面积小于欧几里得面积4πL²，则说明局部曲率是正的；如果面积大于4πL²，则说明局部曲率是负的。体积情况也得出同样的结论。我们仅停留在这些定性的理解上。在三维和四维空间中，可以定义一个称为标量曲率的长度R，它由曲率张量计算得出。
...在我们所提出的宇宙学模型中，我们决定将两个宇宙片层进行共轭，使得在共轭点处的局部标量曲率互为相反数：
R* = -R
...这是纯粹几何学的视角。此时，我们可以轻松地给出一个二维的直观图像，当然要考虑到这类表示在实际意义中的局限性。如下图所示：
上图是一个“钝化正锥体”。圆锥体部分的局部曲率为零，球冠部分的曲率为正。
下图是一个“钝化负锥体”。负锥体部分的局部曲率为零，马鞍部分的曲率为负。
...我们将物体和测地线投影到两个欧几里得的二维表示平面上。第一个平面是位于片层F中的物理观测者所处的平面，他可以看到大质量物体，但无法看到在另一片层F*中穿行的“示踪粒子”。
...一个位于某一片层中的物体对另一片层中的观测者不可见，这种不可见性纯粹是几何性质的。我们假设光子沿着各自片层中的测地线（特殊路径）传播。光子j在片层F（我们的宇宙片层）中传播，而光子j，我们可称之为“幽灵光子”（ghost photons），则在片层F（“幽灵宇宙”）中传播。由于两个片层是互不相交、不连通的集合，因此任一片层中的光子都无法穿越到另一片层。
...这种几何系统的运作机制其实远没有表面看起来那么复杂。
...片层F具有自身的几何结构，完全由一个“度规”g 描述，由此可构建其测地线系统。从该度规g 出发，可以构造出一个几何张量S，并将其等同于一个“场源”张量T，即产生该曲率的根源，从而写出爱因斯坦方程：
S = c T
另一片层的几何结构（其标量曲率与之相反）对应于一个度规g*，由此可构造出几何张量S*。曲率的反转仅由下式得出：
S* = - S = -c T
...这绝不意味着g* = -g。方程是非线性的。度规g* 也产生自己的测地线。
...考虑片层F中的一条测地线，并在另一片层中画出其共轭点对应的曲线。这在另一片层中并非测地线。
反之亦然：
...那么，我们目前处于什么状态？*我们为宇宙（假设为片层F，即我们自己的时空）赋予了一个孪生兄弟。*我们宇宙中的物质（张量T）决定了自身的几何结构，同时也决定了孪生宇宙的几何结构。我们假设我们的宇宙只包含正质量，更一般地，只包含具有正能量的粒子。我们不考虑在我们时空片层中可能存在负质量。因此，张量T 在有能量-物质的地方为正，在真空区域为零。因此，片层F的局部曲率要么为零，要么为正，但绝不可能为负。
...而片层F*的曲率（我们称之为诱导曲率）则要么为零，要么为负。
...如果该片层中存在粒子，我们假设它们也沿着该片层的测地线运动。然而，当我们观察上图时会发现：图中灰色的物体，即我们宇宙中（片层F）的这个质量体，在片层F*中却表现出排斥性（见测地线轨迹的弯曲）。
...我们已构建出一个精确的数学解，对应于这一对“共轭度规”（g，g*）。[参见网站：论文《Geometrical Physics B》]。解g 与我们所称的施瓦茨希尔德度规完全一致——即天体外部的外部解和天体内部的内部解。我们提议将第二个度规称为“反施瓦茨希尔德度规”。[参见网站：《Geometrical Physics A, 7》，论文2：共轭稳态度规。精确解。]
带有“幽灵物质”时。
在这种共轭几何的视角下，我们可以反转情况，假设某个正质量存在于片层F中。它将在该片层中产生正曲率，其二维直观图像对应于一个钝化圆锥体，即施瓦茨希尔德解，但出现在片层F中。
...对不同片层中的观测者如何感知该质量对自身宇宙中示踪粒子的影响，也作同样的说明。
...通过分析上图，我们可以总结出物质与幽灵物质（ghost-matter）在第二个宇宙（幽灵宇宙）中的相互作用规律：
-
两个物质粒子相互吸引。
-
两个幽灵物质粒子相互吸引。
-
物质与幽灵物质相互排斥。
...可见，这与苏里奥（Souriau）提出的模型不同：在苏里奥的模型中，第二类粒子不仅排斥我们物质的粒子，彼此之间也相互排斥。
...第二类几何结构对应于片层F中存在正质量m。我们可在其中定义物质密度ρ* > 0（更准确地说，是幽灵能量-物质，因为第二个片层——幽灵宇宙——也包含“幽灵辐射”、幽灵光子和幽灵中微子）。幽灵粒子的能量为正，压强p*也为正。
...由此可构建出幽灵能量-物质张量T*（最一般的能量-物质张量略复杂，但这种简略描述已足以满足常规需求）。
场方程给出几何结构……