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坐标变换下的不变性。
……这是广义相对论的一个关键概念，并不容易阐述。我们说过，寻找一个“宇宙学解”，无论是定常的还是非定常的，都等同于构造一个作为“场方程解”的四维超曲面。
……以一块具有球面拓扑的金属薄板物体为例。这是“一块金属球面”。同样，我们很容易想象可以通过局部加热和冷却来使这个曲面变形。例如，加热一点并冷却对跖区域，就会把这个球面变成一个蛋。蛋是一个具有球面拓扑的物体，但它是一个曲率可变的曲面。
……在一处加热、在另一处冷却，就会在金属中产生张力。当然，由于这种材料是导体，如果停止加热和冷却，温度就会均匀化，物体就会恢复球形。关键在于我们能够创造出一个具有非均匀温度场的定常状态。这个场产生张力，而我们可以把这些张力具体化为一个称为张量的数学对象T。
某种东西描述着物体的几何。这被称为度规。正是从这第二个数学对象出发，我们可以：
-
计算几何张量S
-
计算曲面的测地线。
这个曲面的几何可以从一个类似于爱因斯坦方程的方程来计算，形式如：
S = a T
其中a是一个常数。如果先验地知道薄板中的温度场，即张力张量，就可以推导出它的几何。 “读取”这种几何的最佳方式就是分析测地线系统。我们知道球面的测地线（其“大圆”）。蛋的测地线则不同。
……为了描述这些测地线，我们需要在曲面上定义一个坐标系。对于球面，可以采用经典的方位角-仰角系统。
……在这个特定的坐标系中，球面的测地线将对应于某些方程。
在这个球面上，曲线q = 常数表示经过两点的测地线族。相反，曲线j = 常数（纬线）则不是曲面的测地线。
……也可以定义一个类似的坐标系，并写出“蛋”曲面的测地线方程。但我们立刻注意到一件本质性的事情：曲面的测地线独立于我们选择用来描述它们的坐标，正如球面或蛋上的点独立于用来定位它们的坐标系而存在一样。
……同样，在平面上，可以用笛卡尔坐标或极坐标来表示点。平面上的直线是测地线。
一条直线可以在两个坐标系中描述：
……这是同一条测地线，却有着两种完全不同的描述。平面上的直线独立于我们描述它们的方式、独立于所使用的坐标选择而存在。而我们可以想象……无穷多种。
……那么，什么是内禀的？答案是：在直线上（或沿任意曲线轮廓）测得的长度s。在曲面上两点M1和M2之间，长度最短的路径是一条测地线。
……同样，在“球面”或“蛋”物体的测地线上分隔两点的距离，也是一个独立于所选坐标系的量。如果在曲面上取两点M1和M2，并画出连接它们的测地弧，则沿此弧测得的长度s将是相同的，无论使用什么坐标系来定位这些点。
……对于我们称为“宇宙”的四维超曲面也是如此。它拥有自己的测地线系统，同样在坐标变换下不变。我们并不居住在一个具有位置坐标和時間坐标的(x, y, z, t)空间中，而是居住在一个完全可以由其测地线网络来描述的的四维超曲面中。在这些测地线上存在一个长度s，它同样在坐标变换下不变。这个超曲面上的点不再是空间的点，而是时空超曲面的点。它们被称为事件。因此，两个不同的事件被某种称为s的东西分隔开来。但这究竟是什么？
这是固有时。
……在这个时空超曲面中的一条测地线轨迹分隔了两个事件M1和M2。我所能说的是，如果我用一个载具在时空中完成这段旅程，那么在我的船钟上会流逝一段时间s。
坐标的选择在于用空间坐标(x, y, z)和时间坐标t来定位时空的点。但由于这种选择是任意的，这个空间和时间就没有内禀的存在性。它们只是“读取”曲面、遍历曲面的方式。唯一的约束是：根据所做的假设，我们只能沿测地线移动，而在这些测地线上，唯一可靠的、可以依附的东西是“流逝的固有时”s，而不是这个t，t只是一个简单的时间标记系统。
对于每一种坐标系的选择，都有一种不同的事件和现象的读取系统。
……因此物理学家们寻求一种独立于坐标选择的形式体系。这就是张量形式体系的本质。关于这个主题不能再多说，否则就要进入相对复杂的技术细节了。
奇点问题。
在球面上，经典角坐标的选择引入了两个极点奇点。
不可能在不引入这类极点奇点的情况下绘制球面的地图。
……值得注意的是，可以用一个唯一的奇点来绘制球面的地图。在球面上用平面切割，创建第一族曲线（圆），如下所示：
然后是第二族：
除了这个唯一的奇点之外，没有问题。如果我们从另一侧看这个球面，会看到这样：
……除了唯一的奇点S之外，可以毫无困难地定位各点。但定义这个网格奇点S的参数a和b的值是……任意的……
……然而，球面在几何上、内禀上并不是奇异的。把台球或蛋向各个方向转动，你不会发现任何奇点。
因此这些奇点是由坐标的选择创造出来的。
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