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相反，将会存在真正的几何奇点：
等等……
……顺便说一句，折痕是曲面上一个特殊的区域，它包含线曲率，左侧为负，右侧为正。这两张曲面是特意用球冠制成的。最终物体的拓扑结构是球面。因此它具有等于4π的总曲率。假设左边的物体是用两个四分之三球面制成的（起始球面半径相同）。这些组成部分各自对应3π的曲率。总计6π。于是我们立刻知道折痕包含多少（负）曲率：-2π。该曲率沿圆形折痕均匀分布。于是我们能够计算三角形ABC的角度之和。通过测量其面积，我们首先知道它所包含的曲率（角）量。即：
必须减去弧mn中所包含的曲率量。即：
透镜也具有球面的拓扑结构。因此折痕包含等于2π的正线曲率。
……我们也可以计算那个奇怪三角形ABC的角度之和，它由三条测地线构成。测地线轻快地越过折痕。你只需用你的胶带做个实验。
弧mn包含线曲率：假设上面指出的那种透镜是用两个相同的四分之一球面制成的。每个包含等于π的曲率。因此，曲面（不含折痕）中包含曲率2π。
……通过计入三角形ABC和折痕弧中所包含的角曲率，可以知道与欧几里得和π之间的偏差（正值）。
可见，对于曲面而言，人们可以相当容易地摆弄这些曲率问题。
……一个曲面可以带有奇点或折痕。在这种情况下，这是真正的几何奇点、内禀奇点，而非源于坐标选择。
……顺便指出，这种线曲率可以分布在一部分曲面上。例如，对于左图，将得到：
……这与前面所介绍的做法类似，当时锥顶集中的曲率被分布到一个球冠上（钝锥）。如果构成上述曲面的两个球冠例如各代表三分之二个球面，即曲率
灰色曲面将包含均匀分布的负曲率C，使得：
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