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几何背景。
……球面是一个二维空间。需要两个参数才能在其中定位一个点。这是一个具有拓扑的空间（关于拓扑一词含义的更多细节，参见我的漫画《拓扑学入门》，Belin出版社）。球面与环面不具有相同的拓扑、相同的“形状”。球面拥有测地线。可以在其上画出一条连接两点M1和M2的路径，并测量所经过的长度s。这个长度与用来定位这些点所选择的坐标无关，同样也与遍布该曲面的测地线曲线无关。
……将这个球面的中心与其所有点相连。我们得到无数条射线。这些射线可以用与点相同的定位系统来定位，例如两个角q和j。
上图是我们的球面。
我们挖了一个洞来展示向量射线的集合。
现在去掉球面，只保留这些向量射线。
……我们把这些射线截短了，但实际上它们是无限的。每一条都仅由给定的两个参数定义，例如两个角。度量结构消失了。不再有测地线，不再有长度。还剩下什么？
- 每条射线都有一个邻域。可以选取相邻的射线，将这条射线包围在某种锥体中。在这个锥体内部，可以再放入一个更窄的锥体，包含这条射线。这涉及同心圆或俄罗斯套娃的问题，只不过用的是射线束。但这里并不是要在这些锥体上画测地线。它们的每一条母线都只是一个由两个参数（例如两个角）构成的集合。
- 人们区分出一种关于可微性的直觉概念。在这种“纹理”中没有不连续性。
取一个平面，带有测地线、长度等等……
……无论我选择什么坐标系，我都始终需要用两个实数(x,y)、(r,q)等来定位我的点的位置……
这些实数取自R2，即实数对的集合，如(3.8705, -17.56)。取自这个实数对空间中的任意一对点都有一个邻域。这是“连续的”。
这些“前度量”对象被称为流形（数学家在挑选对街头路人毫无联想力的词汇方面很有一套）。
……因此，在这个阶段，我们可以跳过这一步，即考虑一个由n个实数构成的集合（n维空间），而不自动给它附加长度或测地线的概念。
……这有点像考虑一个曲面，其上的点唯一的约束就是与它们的邻居保持接触。它将是无限弹性且可形变的。按照惯例，如果我们用一个曲面的轮廓（无论是其边界还是其视轮廓）来表示它，我们将通过简单地去掉轮廓来唤起这个“流动的”流形概念：
……这个图像还让人联想到物体的影子。而影子既没有实质，也没有形状。它的几何取决于它投射于其上的物体。
人们也可以把流形（英文manifold）想象为一族直线，而不带其度量。
……这里，我们放了一些看起来平行的直线。这些直线应该……随便怎么样都行，同时保持它们之间的邻近关系、邻域关系。
……最终，一个V2流形的好图像，是一捆先煮熟、然后可以随意折叠和扭曲、但不改变面条彼此之间排列顺序的意大利面。
无论如何，可以在一个流形上执行一个双层覆盖操作，并为其配备度量，如下图所示：
这里有两层二维叶面，带有相同的（欧几里得）度量。但人们也完全可以这样做：
……我们将把M和M*称为共轭点。说两个共轭空间被构造为一个流形的双层覆盖，仅仅意味着两层叶面F和F*之间存在逐点对应，但是，例如，同源点对(M1,M2)、(M*1, M*2)之间的距离可以不同。唯一的约束最终是，点的邻域也相互对应，并且一个叶面的任何非奇异区域都对应一个同样非奇异的区域。
……我们又回到了刚才那捆柔韧的面条。“骨架-流形”结构在这里只是为了构造两个几何对象之间的单射映射。上图旨在彻底消除诸如“叶面F和F*是如何相对彼此布置的？如果F是一个宇宙，F*在哪里？”之类的问题。这些叶面只是共轭的，具有逐点对应，而这些共轭点可以用相同的坐标来描述。
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