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共轭曲率。
……如何理解三维空间中局部曲率——无论正或负——这一概念。取一个球面。在某处钉入一枚钉子。系上一根长度为L的细绳，并在另一端固定一支铅笔。我们便能画出一个圆，它将是一条纬线。用平面和马鞍面做同样的操作。
……在平面上，周长为2πL，圆盘面积为πL²。
……在球面上，周长和球冠面积都更小。在马鞍面上，由这条闭合曲线所围成的周长和面积则更大。例如，取一个半径为R的球面，并取长度L等于赤道周长的四分之一，即πR/2：
……圆盘面积比球冠面积大3.875倍。其周长比赤道大1.57倍。
……通过对一个曲面进行类似的测量，可以判断局部曲率是正还是负。三维情形类似。此时取一个点、一根半径为L的细绳，然后画……一个球面。如果这个球面的面积小于欧几里得面积4πL²，便可得出结论：局部曲率为正。如果这个面积小于欧几里得面积4πL²，便可得出结论：局部曲率为负。对体积也可得出同样的结论。我们满足于这些定性的观念。在三维和四维中，可以定义一个长度R，称为标量曲率，它由曲率张量计算得出。
……在我们所提出的宇宙学模型中，我们决定将宇宙的两张叶层共轭起来，使得共轭点处的局部标量曲率值互为相反数：
R* = - R
……这是纯粹从几何角度设想事物的方式。于是很容易给出一个二维的教学图像，当然对此类表示的实际适用范围要有所保留。这就是下图的画法：
上方是一个钝正锥。局部曲率在锥体上为零，在球冠中为正。
下方是一个“钝负锥”。曲率在负锥体上为零，在马鞍面中为负。
……我们将物体和测地线投影到两个欧几里得表示平面上。第一个是物理上位于叶层F中的观察者的平面，他因此能看到这个有质量的物体，却看不到在叶层F*中行进的示踪粒子。
*……位于一个叶层中的物体对于位于另一个叶层中的观察者不可见，这纯粹是几何性质。*我们假设光子遵循每个叶层（特定的）测地线。光子j在我们的宇宙叶层F中行进，而光子j*——可称为“幽灵光子”（ghost photons）——在叶层F*即“幽灵叶层”（ghost universe）中行进。两个叶层构成一个不相交、不连通的整体，这禁止任何光子从一个叶层穿到另一个叶层。
……这样一个几何系统的“运作”并没有看起来那么复杂。
……叶层F有其几何，完全由“度规”g描述，并由此构建其测地线系统。由该度规g可以构造一个几何张量S，并将其等同于一个张量T，后者作为“场源”、即该曲率的起源，写出爱因斯坦方程：
S = c T
第二个叶层的几何，其标量曲率相反，对应一个度规g*，由此可以构造一个几何张量S*。曲率的反转直接来自：
S* = - S = - c T
……这绝不意味着g* = - g。方程是非线性的。度规g*同样生成测地线。
……考虑叶层F的一条测地线，并在另一个叶层中画出对应共轭点的曲线。它不是后者的测地线。
反之亦然：
……至此，我们处于何种境地？*我们为宇宙（假定为叶层F，我们自己的时空）配备了一个孪生兄弟。*我们宇宙中存在的物质（张量T）决定了它的几何，但也决定了孪生兄弟的几何。我们假设我们的宇宙只包含正质量，更一般地说，只包含具有正能量的粒子。我们不设想我们的时空叶层中可能存在负质量。因此张量T在有能量-物质处为正，在高度真空处为零。所以F的局部曲率要么为零，要么为正，不可能为负。
……相反，叶层F*的曲率（此时称为诱导曲率）要么为零，要么为负。
……如果该叶层中存在粒子，我们假设它们也遵循该叶层的测地线。那么，观察上图我们会发现什么？灰色物体，即我们宇宙中、叶层F中的这个质量，在叶层F*中表现得像一个排斥性物体（见轨迹-测地线的曲率）。
……我们构造了一个对应于这对“共轭度规”（g，g*）的精确数学解。[见网站：论文Geometrical Physics B]。解g与我们称之为外史瓦西度规（天体外部）和内史瓦西度规（天体内部）的度规相同。我们建议将第二个度规称为“反史瓦西”。[见网站：Geometrical Physics A，7，论文2：Conjugated steady state metrics. Exact solutions.]
借助“幽灵物质”。
在这种共轭几何的视角下，可以反转情形，假设某个（正）质量存在于叶层F*的某处。它在那里产生正曲率，而该几何的二维教学图像对应于钝锥，对应于一个史瓦西解，但是在叶层F*中。
……对于不同叶层的观察者如何感知该质量对其宇宙中行进的示踪粒子的效应，也有同样的说明。
……审视上图可以揭示物质与幽灵物质（ghost-matter）之间的相互作用规律，后者位于第二个宇宙即幽灵宇宙中。
-
两个物质粒子相互吸引
-
两个幽灵物质粒子相互吸引。
-
物质与幽灵物质相互排斥。
……可以看到这与苏里奥（Souriau）所暗示的图景不同，按照后者，第二类粒子不仅排斥构成我们物质的粒子，而且彼此排斥。
……第二个几何对应于叶层F*中正质量m*的存在。可以在其中定义物质密度ρ* > 0（更确切地说是幽灵能量-物质密度，因为第二个叶层即幽灵宇宙也包含“幽灵辐射”、幽灵光子和幽灵中微子）。幽灵粒子的能量为正，压强p*也为正。
……由这些量可以构造一个幽灵能量-物质张量T*（最一般的能量-物质张量比这稍多，但这种示意性描述“对于通常需要”已经足够）。
给出叶层F*中几何的场方程为：
S* = c T*
给出F*几何的场方程为：
S = -c T*
……这就是刚才的两个方程，只是反了过来。在叶层F中，几何是诱导的，意即它由位于F*中、因而从叶层F不可见的物质M*所创造。
……现在可以设想两个叶层各自被其自身的物质所填充，密度分别为ρ和ρ*。
共轭度规于是由方程组推出：
S = c (T - T*)
S* = c (T* - T)
这确实给出相反的曲率：
R* = - R
因此，这样一个宇宙可以在其叶层中呈现任意曲率——正、负或零。
如果叶层F中局部曲率为正，那是因为：
T > T*
或：
ρ > ρ*
此时在叶层F*的相邻共轭区域中曲率为负。
如果叶层F中局部曲率为负，那是因为：
T < T*
或：
ρ < ρ*
此时在叶层F*的相邻共轭区域中曲率为正。
如果叶层F中某区域曲率为零，它在叶层F*中也同样为零，这意味着要么：
T = T* = 0（两个区域均为空）
要么：
T = T*（ρ = ρ*）
牛顿与反牛顿。
牛顿定律由爱因斯坦方程推出，假设：
-
局部曲率很弱
-
速度远小于光速
-
系统是“准静态的”（从宇宙学意义上说）。
……它以同样的方式由上文给出的耦合场方程组推出。见：
J.P.Petit and P.Midy：Matter ghost matter astrophysics. 1：The geometrical framework. The matter era and Newtonian approximation.[见网站：Geometrical Physics A，4，1998，第4节。]
于是有如下动力学：
-
两个物质粒子m1和m2按牛顿定律相互吸引。
-
两个幽灵物质即“幽灵物质”粒子m*1和m*2按牛顿定律相互吸引。
-
两个分属不同叶层的粒子m和m*按“反牛顿”定律相互排斥。
关于广义相对论的检验。
……该模型与这些检验并不矛盾。事实上，由于物质与幽灵物质相互排斥，在有物质集中的地方（例如我们的星系），幽灵宇宙的相邻共轭部分处于高度真空：那里的物质通过将幽灵质量排斥到远处而进行了清理。
因此在太阳附近，张量T*（幽灵物质）相对于T（物质）可以忽略，场方程变为：
S @ c T
即爱因斯坦方程，此时它表现为一个“孪生”方程的近似形式。
这部分几何的结论。
**……**现在一切就绪，可以尝试利用一个新观念：一个与幽灵宇宙持续相互作用的宇宙，而后者的存在只通过其对引力场的作用向我们显现。
……在论文：“J.P.Petit and P.Midy：Geometrization of antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3：Twin group. Matter anti-matter duality in the ghost space. Reinterpretation of the CPT theorem.[见网站：Geometrical Physics B，1-3]，1998.”中，孪生结构以不同方式逼近：通过群论（孪生群）。尤其可以看到，物质-反物质对偶存在于两个叶层中。在幽灵宇宙中存在着幽灵物质和反幽灵物质。
……我们知道牛顿近似。因此可以进行数值模拟。也可以尝试构造解析解。为完整起见，我们还须提出一个宇宙演化模型，可称为Twin Bang，因为它影响两个宇宙。
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